Задание №18 — Окружности и четырехугольники

Решение:

а) Заметим, что треугольники $ABC$ и $ACD$ имеют общую описанную окружность. Поскольку по условию хорды $AB$ и $CD$ равны, то и вписанные углы, которые на них опираются, также будут равны: $\angle ACB = \angle CAD$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$. Из равенства накрест лежащих углов следует параллельность прямых $AD \parallel BC$, что и требовалось доказать.

б) Воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$: $\frac{AB}{\sin \angle BCA} = 2R$.
Отсюда находим синус угла: $\sin \angle BCA = \frac{AB}{2R} = \frac{9}{2 \cdot 6} = \frac{3}{4}$.
Вычислим косинус этого же угла: $\cos \angle BCA = \sqrt{1 - \sin^2 \angle BCA} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
Применим теорему косинусов к стороне $AB$ в $\triangle ABC$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 AC \cdot BC \cdot \cos \angle BCA$.
Учитывая, что $AB = BC = 9$, уравнение принимает вид:
$9^2 = AC^2 + 9^2 - 2 AC \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$.
$AC^2 - \frac{9\sqrt{7}}{2} AC = 0$.
Так как длина стороны $AC$ не может быть нулевой, получаем $AC = \frac{9\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}$ (после упрощения): $AC = 2 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = 6\sqrt{7}$.
Ранее было доказано, что $\angle CAD = \angle BCA$. Теперь запишем теорему косинусов для $\triangle ACD$:
$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 AC \cdot AD \cdot \cos \angle CAD$.
Подставим известные значения в уравнение:
$12^2 = (6\sqrt{7})^2 + AD^2 - 2 \cdot 6\sqrt{7} \cdot AD \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$.
$144 = 252 + AD^2 - 21 AD$.
$AD^2 - 21 AD + 108 = 0$.
Решая данное квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни: $AD = 12$ или $AD = 9$. Случай $AD = 12$ невозможен в данной конфигурации, следовательно, искомая длина $AD = 9$.

Ответ: б) 9

Источник: ФИПИ