Решение:

а) Применим теорему Менелая к треугольнику $ABB_{1}$ и прямой, пересекающей его стороны:
$$\frac{AC_{1}}{C_{1} B} \cdot \frac{BD}{DB_{1}} \cdot \frac{B_{1} C}{AC} = 1$$
Подставим известные отношения сторон:
$$\frac{8}{3} \cdot \frac{BD}{DB_{1}} \cdot \frac{3}{4} = 1$$
Откуда получаем соотношение отрезков на стороне $BB_1$:
$$\frac{BD}{DB_{1}} = \frac{1}{2}.$$
Согласно теореме Фалеса, из условия $A_{1} D \parallel B_{1} C$ вытекает параллельность $A_{1} D \parallel AB_{1}$.
Пусть точка $K$ является точкой пересечения прямых $AD$ и $BC$.
Воспользуемся теоремой Менелая для треугольника $BB_{1} C$:
$$\frac{BK}{KC} \cdot \frac{AC}{AB_{1}} \cdot \frac{B_{1} D}{BD} = 1$$
Подставляя значения, имеем:
$$\frac{BK}{KC} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{2}{7} = 1 \Rightarrow \frac{BK}{KC} = \frac{1}{8}$$
Рассматривая подобие, находим, что $\frac{C_{1} A}{A_{1} K} = \frac{C_{1} B}{AB_{1}} = \frac{3}{7}$.
Так как $AK \parallel A_{1} B_{1}$, то и $AD \parallel A_{1} B_{1}$.
Учитывая, что $A_{1} D \parallel AB_{1}$ и $AD \parallel A_{1} B_{1}$, заключаем, что четырехугольник $ADA_{1} B_{1}$ является параллелограммом по определению. Что и требовалось доказать.
б) Пусть $\angle AKC = 90^{\circ}$.
Вычислим длину отрезка $KC$: $KC = \frac{8}{9} BC = \frac{40}{3}$.
Тогда косинус угла при вершине $C$ в прямоугольном треугольнике $AKC$ равен:
$$\cos \angle KCA = \frac{KC}{AC} = \frac{40/3}{16} = \frac{5}{6}$$
Найдем сторону $AB$ треугольника $ABC$, используя теорему косинусов:
$$AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} - 2 AC \cdot BC \cdot \cos \angle KCA$$
$$AB^{2} = 16^{2} + 15^{2} - 2 \cdot 16 \cdot 15 \cdot \frac{5}{6} = 256 + 225 - 400 = 81$$
Следовательно, $AB = 9$.
Определим синус этого же угла:
$$\sin \angle KCA = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{6}\right)^{2}} = \frac{\sqrt{11}}{6}$$
Для нахождения радиуса $R$ описанной около $\triangle ABC$ окружности используем теорему синусов:
$$\frac{AB}{\sin \angle KCA} = 2 R \Rightarrow R = \frac{9}{2 \cdot \frac{\sqrt{11}}{6}} = \frac{27}{\sqrt{11}} = \frac{27 \sqrt{11}}{11}.$$

Ответ: б) $\frac{27 \sqrt{11}}{11}$

Источник: ФИПИ