Задание №18 — Многоугольники и их свойства

Решение:

а) Рассмотрим треугольник $BMD$. Согласно условию, он является равнобедренным, следовательно, $\angle MBD = \angle MDB$.
Поскольку стороны $AD$ и $BC$ параллельны, накрест лежащие углы при секущей $BD$ равны: $\angle MDB = \angle DBC$. Таким образом, $\angle MBD = \angle DBC$.
В прямоугольнике $ABCD$ диагонали в точке пересечения $O$ делятся пополам, значит, $AO = OD$, и треугольник $AOD$ равнобедренный, откуда $\angle ODA = \angle OAD$.
В прямоугольном треугольнике $ABM$ отрезок $AK$ является высотой к гипотенузе. Из подобия $\triangle AKM \sim \triangle ABM$ следует равенство углов: $\angle ABM = \angle MAK$.
Заметим, что прямой угол $\angle ABC$ составлен из трех равных частей.
Значит, $\angle ABM = \angle MBD = \angle DBC = \frac{90^{\circ}}{3} = 30^{\circ}$. Утверждение доказано.

б) Пусть длина отрезка $AM$ равна $x$.
Так как в $\triangle ABM$ угол $\angle ABM = 30^{\circ}$, то гипотенуза $BM = 2x$. Учитывая равнобедренность $\triangle BMD$, имеем $MD = BM = 2x$.
Тогда сторона $BC = AD = AM + MD = x + 2x = 3x$.
По условию $BC = 9$, следовательно, $x = \frac{9}{3} = 3$, а $MD = 2 \cdot 3 = 6$.
В треугольнике $ABM$ найдем катет $AB$: $\operatorname{tg} 30^{\circ} = \frac{AM}{AB} \Rightarrow AB = \frac{3}{1/\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$.
В равнобедренном треугольнике $BMD$ точка $O$ делит основание $BD$ пополам, значит, $MO$ — медиана и высота. В треугольнике $MOD$ имеем $\operatorname{tg} \angle MDO = \operatorname{tg} 30^{\circ} = \frac{MO}{OD}$.
Отсюда $MO = OD \cdot \operatorname{tg} 30^{\circ} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$.
Применим теорему Пифагора для $\triangle MDC$: $MC = \sqrt{MD^2 + CD^2} = \sqrt{6^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 27} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$.
Используя теорему косинусов для $\triangle OMC$, выразим косинус угла $\angle OCM$:
$OM^2 = OC^2 + MC^2 - 2 \cdot OC \cdot MC \cdot \cos \angle OCM$.
$\cos \angle OCM = \frac{OC^2 + MC^2 - OM^2}{2 \cdot OC \cdot MC} = \frac{(3\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{7})^2 - 3^2}{2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{7}} = \frac{27 + 63 - 9}{18\sqrt{21}} = \frac{81}{18\sqrt{21}} = \frac{9}{2\sqrt{21}}$.
Найдем синус этого угла: $\sin \angle OCM = \sqrt{1 - \cos^2 \angle OCM} = \sqrt{1 - \frac{81}{84}} = \sqrt{\frac{3}{84}} = \sqrt{\frac{1}{28}} = \frac{1}{2\sqrt{7}}$.
В прямоугольном треугольнике $OLC$ искомое расстояние $OL$ (высота) находится как:
$OL = OC \cdot \sin \angle OCL = 3\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{7}} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{3}{7}}$.

Ответ: б) $\frac{3}{2} \sqrt{\frac{3}{7}}$

Источник: ФИПИ