Решение:

а) Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$, вписанный в окружность. Острые углы $ACB$ и $CAD$ опираются на хорды $AB$ и $CD$ соответственно. Так как по условию $AB = CD$, то и соответствующие вписанные углы равны: $\angle ACB = \angle CAD$. Равенство этих накрест лежащих углов доказывает параллельность прямых $BC$ и $AD$. По аналогии, из равенства хорд $BC$ и $DE$ вытекает параллельность $CD$ и $BE$.
Таким образом, фигуры $ABCD$ и $BCDE$ представляют собой равнобедренные трапеции. Из свойств таких трапеций следует равенство их диагоналей: $AC = BD = CE$.
б) Пусть $M$ — точка, в которой пересекаются отрезки $AD$ и $BE$. В четырёхугольнике $BCDM$ противоположные стороны попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм. Отсюда имеем: $BM = CD = AB = 3$ и $DM = BC = DE = 4$. Заметим, что треугольники $ABM$ и $MDE$ являются равнобедренными, так как $\angle BAM = \angle AMB$ (внешний угол при основании трапеции) и $\angle DME = \angle DEM$ (вертикальные и накрест лежащие углы). Эти треугольники подобны, а их коэффициент подобия равен $k = \frac{DE}{AB} = \frac{4}{3}$. Используя подобие, вычислим отрезок $ME$:
$ME = \frac{DE}{AB} \cdot AM = \frac{4}{3} \cdot (AD - DM) = \frac{4}{3} \cdot (6 - 4) = \frac{8}{3}$.
Найдём длину всей диагонали $BE$ как сумму длин её частей:
$BE = BM + ME = 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}$.

Ответ: $\frac{17}{3}$

Источник: ФИПИ