Задание 18

Планиметрия (с доказательством) · 59 заданий

Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK: KC = 1: 3. а…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N - середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB = BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M. а) Д…
Планиметрия
Задание №18
№18Среднее
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC - диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая AC пара…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольнике ABC, пересекаются в точке H. Точка O - центр окружности, описанно…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM = MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонал…
Планиметрия
Задание №18
№18Сложное
Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечаем точки M и N соответственно так,…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13. а) Докажите, что диагонали перпендикулярны. б) Найдите площадь трапеции.
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия
Задание №18
№18Лёгкое
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC, - в точке M. а) Докажите, что треу…
Планиметрия

Задание №18 — Окружности и четырехугольники

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD = 3 , BC = DE = 4 .$
а) Докажите, что $AC = CE .$
б) Найдите длину диагонали $BE ,$ если $AD = 6 .$

Ваше решениедо 3 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:

а) Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$ , вписанный в окружность. Острые углы $ACB$ и $CAD$ опираются на хорды $AB$ и $CD$ соответственно. Так как по условию $AB = CD$ , то и соответствующие вписанные углы равны: $\angle ACB = \angle CAD$ . Равенство этих накрест лежащих углов доказывает параллельность прямых $BC$ и $AD$ . По аналогии, из равенства хорд $BC$ и $DE$ вытекает параллельность $CD$ и $BE$ .
Таким образом, фигуры $ABCD$ и $BCDE$ представляют собой равнобедренные трапеции. Из свойств таких трапеций следует равенство их диагоналей: $AC = BD = CE$ .
б) Пусть $M$ — точка, в которой пересекаются отрезки $AD$ и $BE$ . В четырёхугольнике $BCDM$ противоположные стороны попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм. Отсюда имеем: $BM = CD = AB = 3$ и $DM = BC = DE = 4$ . Заметим, что треугольники $ABM$ и $MDE$ являются равнобедренными, так как $\angle BAM = \angle AMB$ (внешний угол при основании трапеции) и $\angle DME = \angle DEM$ (вертикальные и накрест лежащие углы). Эти треугольники подобны, а их коэффициент подобия равен $k = \frac{DE}{AB} = \frac{4}{3}$ . Используя подобие, вычислим отрезок $ME$ :
$ME = \frac{DE}{AB} \cdot AM = \frac{4}{3} \cdot (AD - DM) = \frac{4}{3} \cdot (6 - 4) = \frac{8}{3}$ .
Найдём длину всей диагонали $BE$ как сумму длин её частей:
$BE = BM + ME = 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}$ .

Ответ: $\frac{17}{3}$

Источник: ФИПИ