Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Для начала преобразуем данное неравенство, приведя его к следующему виду:
$$\frac{\log _{2} ( 2 - x ) - \log _{2} ( x + 1 )}{(\log _{2} x^{2} + 1)^2} \geq 0$$ Заметим, что в знаменателе находится полный квадрат $\left(\log _{2} x^{2} + 1\right)^{2}$. Данное выражение всегда неотрицательно в области своего определения. Выясним, при каких значениях переменной оно не определено или обращается в нуль:
1) Логарифм $\log_2 x^2$ не существует, если $x = 0$.
2) Знаменатель равен нулю, если $\log_2 x^2 + 1 = 0$, то есть $\log_2 x^2 = -1$. Это происходит при $x^2 = \frac{1}{2}$, откуда $x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, при $x \neq 0$ и $x \neq \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ знаменатель строго положителен, и исходное неравенство равносильно системе:
$$\begin{cases} \log _{2} ( 2 - x ) - \log _{2} ( x + 1 ) \geq 0 \\ x \neq 0 \\ x \neq \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$$ Решим логарифмическое неравенство в числителе:
$\log _{2} ( 2 - x ) \geq \log _{2} ( x + 1 )$
Переходя к аргументам с учетом области определения логарифмов, получаем:
$0 < x + 1 \leq 2 - x$
Решая это двойное неравенство, находим:
$-1 < x$ и $2x \leq 1 \Rightarrow x \leq 0,5$.
Таким образом, решением числителя является промежуток $(-1; 0,5]$.
Теперь исключим из этого интервала точки, в которых знаменатель не определен или равен нулю: $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $x = 0$ и $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Заметим, что $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,7$, что больше $0,5$, поэтому эта точка не входит в рассматриваемый интервал. Остаются точки $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $0$.
Объединяя условия, получаем искомые промежутки:
$-1 < x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
$-\frac{\sqrt{2}}{2} < x < 0$;
$0 < x \leq \frac{1}{2}$.

Ответ: $\left(-1; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0\right) \cup \left(0; \frac{1}{2}\right]$

Источник: ФИПИ