Стереометрия (с доказательством) · 57 заданий
- Задание №15№15Среднее
В кубе ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ точка K - середина ребра B₁ C₁. Плоскость α проходит через точки B, K и D. а) Докажите, что сечение куба плоскостью α является…
Многогранники
- Задание №15№15Среднее
В правильной треугольной призме ABCA₁ B₁ C₁ точка K – середина ребра A₁ B₁. Плоскость α проходит через точки A, K и C. а) Докажите, что сечением призм…
Многогранники
- Задание №15№15Лёгкое
В правильной треугольной призме ABCA₁ B₁ C₁ отметили точки M и K на ребрах AA₁ и A₁ B₁ соответственно. Известно, что AM = 3 MA₁, A₁ K = KB₁. Через точ…
Многогранники
- Задание №15№15Лёгкое
В кубе ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ точка K - середина ребра B₁ C₁. Плоскость α проходит через точки B, K и D. а) Докажите, что сечение куба плоскостью α является…
Многогранники
- Задание №15№15Среднее
В правильной треугольной призме ABCA₁ B₁ C₁ точка K – середина ребра A₁ B₁. Плоскость α проходит через точки A, K и C. а) Докажите, что сечением призм…
Многогранники
- Задание №15№15Лёгкое
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого сеч…
Тела вращения
- Задание №15№15Сложное
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка M - середина ребра AB. Плоскость α, перпен…
Многогранники
- Задание №15№15Сложное
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N - середины боковых стор…
Многогранники
- Задание №15№15Сложное
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ плоскостью α, содержащей прямую BD₁ и параллельной прямой AC является ромб. а) Докажите, что г…
Многогранники
- Задание №15№15Сложное
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с основаниями AD и BC, равными 8 и 3 соответственно. Точки M и N лежат на ребрах SD и BC соответственно…
Многогранники
- Задание №15№15Лёгкое
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, и C, а на окружности другог…
Тела вращения
- Задание №15№15Сложное
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O - центр основания пирамиды, точка M - середина ребра SC, точка K делит ребро BC…
Многогранники
В правильном тетраэдре ABCD точки M и N - середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K. а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если известно, что BK=1,KC=3.
Решение
Решение:
а) Рассмотрим треугольник ANB. В нём отрезки AN и BN являются высотами равных правильных треугольников, следовательно, AN=BN=23CD. Так как треугольник ANB равнобедренный, его медиана NM, проведённая к основанию AB, одновременно служит и высотой, то есть NM⊥AB. Проведя аналогичные рассуждения для треугольника CMD, получим, что MN⊥CD.
б) Согласно условию, плоскость α перпендикулярна отрезку MN. Поскольку прямые AB и CD также перпендикулярны MN, плоскость α будет им параллельна.
Пусть плоскость α пересекает рёбра AC,AD и BD в точках L,P и Q соответственно. Сечение KLPQ представляет собой прямоугольник. Это объясняется тем, что пары сторон KL∥PQ∥AB и KQ∥LP∥CD, а так как скрещивающиеся рёбра AB и CD взаимно перпендикулярны, то и смежные стороны четырёхугольника перпендикулярны.
Заметим, что треугольники KCL и KBQ подобны граням тетраэдра и являются равносторонними. Отсюда находим длины сторон прямоугольника: KL=KC=3 и QK=BK=1. Таким образом, искомая площадь сечения KLPQ вычисляется как произведение его сторон: KL⋅KQ=3⋅1=3.
Ответ: б) 3
Источник: ФИПИ