Решение:
а) Преобразуем исходное уравнение $2 \sin^{3} x = \sqrt{2} \cos^{2} x + 2 \sin x$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и заменим $\sin^{3} x$ на $\sin x \cdot (1 - \cos^{2} x)$:
$2 \sin x (1 - \cos^{2} x) - \sqrt{2} \cos^{2} x - 2 \sin x = 0$
Раскроем скобки в левой части выражения:
$2 \sin x - 2 \sin x \cos^{2} x - \sqrt{2} \cos^{2} x - 2 \sin x = 0$
Заметим, что слагаемые $2 \sin x$ и $-2 \sin x$ взаимно уничтожаются. Получаем:
$-2 \sin x \cos^{2} x - \sqrt{2} \cos^{2} x = 0$
Вынесем общий множитель $-\cos^{2} x$ за скобки:
$-\cos^{2} x (2 \sin x + \sqrt{2}) = 0$
Разделив на $-1$, перейдем к совокупности двух уравнений:
$\cos^{2} x = 0$ или $2 \sin x + \sqrt{2} = 0$
Из первого уравнения получаем: $\cos x = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Из второго уравнения: $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, что дает две серии решений:
$\left[\begin{matrix} x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \\ x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

б) Найдем корни, принадлежащие заданному отрезку $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$, используя единичную окружность.

На указанном промежутке выделяются следующие значения:
$x_{1} = -4\pi + \frac{\pi}{2} = -\frac{7\pi}{2}$;
$x_{2} = -3\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{11\pi}{4}$;
$x_{3} = -\frac{5\pi}{2}$.

Ответ:
а) $\frac{\pi}{2} + \pi k$; $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k$; $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;
б) $-\frac{7\pi}{2}; -\frac{11\pi}{4}; -\frac{5\pi}{2}$.

Источник: ФИПИ