Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

а) Решите уравнение: $2 \sin ^{3} x = \sqrt{2} \cos ^{2} x + 2 \sin x .$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[- 4 \pi ; - \frac{5 \pi}{2}\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Преобразуем исходное уравнение $2 \sin^{3} x = \sqrt{2} \cos^{2} x + 2 \sin x$ .
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и заменим $\sin^{3} x$ на $\sin x \cdot (1 - \cos^{2} x)$ :
$2 \sin x (1 - \cos^{2} x) - \sqrt{2} \cos^{2} x - 2 \sin x = 0$
Раскроем скобки в левой части выражения:
$2 \sin x - 2 \sin x \cos^{2} x - \sqrt{2} \cos^{2} x - 2 \sin x = 0$
Заметим, что слагаемые $2 \sin x$ и $-2 \sin x$ взаимно уничтожаются. Получаем:
$-2 \sin x \cos^{2} x - \sqrt{2} \cos^{2} x = 0$
Вынесем общий множитель $-\cos^{2} x$ за скобки:
$-\cos^{2} x (2 \sin x + \sqrt{2}) = 0$
Разделив на $-1$ , перейдем к совокупности двух уравнений:
$\cos^{2} x = 0$ или $2 \sin x + \sqrt{2} = 0$
Из первого уравнения получаем: $\cos x = 0$ , откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ .
Из второго уравнения: $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ , что дает две серии решений:
$\left[\begin{matrix} x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \\ x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

б) Найдем корни, принадлежащие заданному отрезку $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$ , используя единичную окружность.

На указанном промежутке выделяются следующие значения:
$x_{1} = -4\pi + \frac{\pi}{2} = -\frac{7\pi}{2}$ ;
$x_{2} = -3\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{11\pi}{4}$ ;
$x_{3} = -\frac{5\pi}{2}$ .

Ответ:
а) $\frac{\pi}{2} + \pi k$ ; $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ ; $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ ;
б) $-\frac{7\pi}{2}; -\frac{11\pi}{4}; -\frac{5\pi}{2}$ .

Источник: ФИПИ