Решение:
Обозначим через $x$ количество юношей, отправивших по 5 писем, а через $y$ — количество юношей, отправивших по 16 писем. Согласно условию, общее число юношей совпадает с числом девушек, следовательно, в группе $x + y$ девушек. Суммарное количество писем, отправленных юношами, выражается формулой $5x + 16y$.
а) Проверим, достижима ли ситуация, когда каждая девушка получила ровно по 7 писем. Составим уравнение:
$5x + 16y = 7(x + y)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$5x + 16y = 7x + 7y$
$9y = 2x$
Данное уравнение имеет решение в натуральных числах, например: $x = 9$ и $y = 2$.
В этом случае 9 юношей отправили по 5 писем, а 2 юноши — по 16 писем. Всего было отправлено $9 \cdot 5 + 2 \cdot 16 = 45 + 32 = 77$ писем. Так как девушек в группе $9 + 2 = 11$, и каждая получила по 7 писем, общее число полученных писем также равно $11 \cdot 7 = 77$.
Значит, такая ситуация возможна.
б) Пусть каждая девушка получила по $n$ писем. Тогда общее количество писем должно удовлетворять равенству $5x + 16y = n(x + y)$.
Преобразуем выражение:
$16y - ny = nx - 5x$
$y(16 - n) = x(n - 5)$
Отсюда следует, что отношение $x/y = (16 - n)/(n - 5)$. Чтобы найти минимально возможное общее количество человек, возьмем наименьшие целые значения для $x$ и $y$, соответствующие этому отношению: $x = 16 - n$ и $y = n - 5$.
Тогда число девушек в группе составит:
$x + y = (16 - n) + (n - 5) = 11$.
Таким образом, если количество полученных писем у всех девушек одинаково, их число всегда будет кратно 11.
в) Пусть $z$ — общее количество юношей (и, соответственно, девушек). Если $x$ юношей отправили по 5 писем, то остальные $z - x$ человек отправили по 16 писем. Общее число писем: $5x + 16(z - x)$.
По условию все девушки получили разное количество писем. Чтобы максимизировать число девушек, предположим, что они получили минимально возможные различные количества писем, начиная с нуля: $0, 1, 2, \dots, z-1$.
Сумма такой арифметической прогрессии равна $\frac{z(z - 1)}{2}$.
Следовательно, должно выполняться неравенство:
$5x + 16(z - x) \geq \frac{z(z - 1)}{2}$
Учитывая, что $x \geq 0$, оценим максимальное значение левой части как $16z$:
$16z \geq \frac{z(z - 1)}{2} \Rightarrow 32 \geq z - 1 \Rightarrow z \leq 33$.
Проверим значение $z = 32$:
$5x + 16(32 - x) \geq \frac{32 \cdot 31}{2}$
$5x + 512 - 16x \geq 496$
$11x \leq 16$. Так как по условию юношей, отправивших разное количество писем, не менее двух, то $x \geq 1$ и $z-x \geq 1$. Однако при $x=1$ условие выполняется, но нужно проверить целые решения для распределения писем. При $z=32$ и $x=1$ писем $501$, а сумма от $0$ до $31$ равна $496$. Но при $x \geq 2$ решений нет.
Проверим $z = 31$:
$5x + 16(31 - x) \geq \frac{31 \cdot 30}{2}$
$5x + 496 - 16x \geq 465$
$11x \leq 31$. Это возможно при $x = 1$ или $x = 2$.
При $x = 2$ получаем $5 \cdot 2 + 16 \cdot 29 = 10 + 464 = 474$ письма, что больше минимально необходимой суммы $465$.
Следовательно, наибольшее возможное число девушек равно 31.

Ответ: а) да; б) 11; в) 31

Источник: ФИПИ