Задание №19 — Уравнения с параметром

Решение:
Рассмотрим уравнение: $x^{4} + (a - 3)^{2} = |x - a + 3| + |x + a - 3|$.
Легко заметить, что данное уравнение обладает свойством четности относительно переменной $x$. Если некоторое число $x_0$ является корнем, то и $-x_0$ также будет корнем уравнения.
Действительно, при замене $x$ на $-x$:
Левая часть: $(-x)^{4} + (a - 3)^{2} = x^{4} + (a - 3)^{2}$.
Правая часть: $|-x - (a - 3)| + |-x + (a - 3)| = |-(x + a - 3)| + |-(x - a + 3)| = |x + a - 3| + |x - a + 3|$.
Для того чтобы корень был единственным, необходимо выполнение условия $x = 0$.
Найдем значения параметра, при которых $x = 0$ удовлетворяет уравнению:
$0^{4} + (a - 3)^{2} = |0 - a + 3| + |0 + a - 3|$
$(a - 3)^{2} = |3 - a| + |a - 3|$
Так как $|3 - a| = |a - 3|$, получаем:
$(a - 3)^{2} = 2|a - 3|$
Пусть $|a - 3| = t$, где $t \geq 0$. Тогда уравнение принимает вид:
$t^{2} - 2t = 0 \Rightarrow t(t - 2) = 0$
Отсюда $t = 0$ или $t = 2$.
Вернемся к параметру $a$:
1) $|a - 3| = 0 \Rightarrow a = 3$
2) $|a - 3| = 2 \Rightarrow a = 1$ или $a = 5$.
Проанализируем полученные значения:
1) При $a = 3$ уравнение примет вид $x^{4} = |x| + |x|$, то есть $x^{4} = 2|x|$.
Корнями являются $x = 0$ и $|x|^{3} = 2$, что дает $x = \pm \sqrt[3]{2}$. Итого 3 решения, что не подходит.
2) При $a = 1$ уравнение выглядит так: $x^{4} + 4 = |x + 2| + |x - 2|$.
Воспользуемся графическим методом для анализа количества решений:

Рассмотрим функции $f(x) = x^{4} + 4$ и $g(x) = |x + 2| + |x - 2|$.
Раскроем модули для $g(x)$:
$g(x) = \begin{cases} -2x, & \text{если } x < -2 \\ 4, & \text{если } -2 \leq x \leq 2 \\ 2x, & \text{если } x > 2 \end{cases}$
Из графиков видно, что единственная точка пересечения — это $x = 0$. Следовательно, при $a = 1$ решение единственно.
3) При $a = 5$ уравнение принимает вид $x^{4} + 4 = |x - 2| + |x + 2|$.
Эта ситуация полностью симметрична случаю $a = 1$, и здесь также будет только один корень $x = 0$.
Учитывая структуру исходного уравнения и область значений функций, условие единственности выполняется при $a \leq 1$ и $a \geq 5$.

Ответ: $(-\infty; 1] \cup [5; +\infty)$

Источник: ФИПИ