Решение:

а) Выполним дополнительное построение: через вершину $C$ проведём прямую $CC_{1}$, параллельную диагонали $BD$.
Поскольку $ABCD$ является трапецией, основания $BC$ и $AD$ параллельны. Следовательно, $BC \parallel DC_{1}$, где точка $C_{1}$ лежит на продолжении основания $AD$.
Из параллельности противоположных сторон ($BC \parallel DC_{1}$ и $BD \parallel CC_{1}$) следует, что четырёхугольник $BCC_{1}D$ — параллелограмм.
Отсюда получаем равенства: $BC = DC_{1}$ и $BD = CC_{1} = 5$.

Теперь изучим свойства треугольника $ACC_{1}$:
Длина стороны $AC_{1}$ складывается из отрезков $AD$ и $DC_{1}$, то есть $AC_{1} = AD + BC = 13$.
Нам известны длины всех сторон этого треугольника: $AC = 12$, $CC_{1} = 5$ и $AC_{1} = 13$.
Проверим выполнение равенства Пифагора: $AC^{2} + CC_{1}^{2} = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$.
Так как $13^2 = 169$, то $AC^{2} + CC_{1}^{2} = AC_{1}^{2}$.
Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, $\triangle ACC_{1}$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($\angle ACC_{1} = 90^{\circ}$).
Так как $CC_{1} \parallel BD$, угол между диагоналями трапеции также прямой, то есть $\angle COD = 90^{\circ}$. Что и требовалось доказать.

б) Для нахождения высоты трапеции $h$ сопоставим два способа вычисления площади:
1) Через основания: $S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$
2) Через диагонали (так как они перпендикулярны): $S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD$
Приравняв эти выражения, выразим высоту:
$h = \frac{AC \cdot BD}{BC + AD}$.
Подставим числовые значения: $h = \frac{12 \cdot 5}{13} = \frac{60}{13}$.

Ответ: б) $\frac{60}{13}$

Источник: ФИПИ