Задание №15 — Логарифмические неравенства

Решение:
Дано неравенство: $7 \log _{12} \left(x^{2} - 13 x + 42\right) \leq 8 + \log _{12} \frac{\left(x - 7\right)^{7}}{x - 6}$.
Найдём область допустимых значений переменной, исходя из условий положительности аргументов логарифмов:
$\begin{cases} x^{2} - 13 x + 42 > 0 \\ \frac{(x - 7)^{7}}{x - 6} > 0 \end{cases}$
Разложим квадратный трёхчлен на множители и проанализируем систему:
$\begin{cases} (x - 6)(x - 7) > 0 \\ \frac{(x - 7)^{7}}{x - 6} > 0 \end{cases}$

Решением данной системы является множество: $x \in (-\infty; 6) \cup (7; +\infty)$.
Преобразуем исходное выражение, применяя правила логарифмирования произведения и частного:
$\log_{a} (b \cdot c) = \log_{a} b + \log_{a} c$
$\log_{a} \frac{b}{c} = \log_{a} b - \log_{a} c$
Представим аргумент в левой части как произведение:
$7 \log _{12} ((x - 6)(x - 7)) \leq 8 + \log _{12} \frac{(x - 7)^{7}}{x - 6}$
Раскроем логарифмы (учитывая область определения, где $x-6$ и $x-7$ одного знака):
$7 \log _{12} |x - 6| + 7 \log _{12} |x - 7| \leq 8 + 7 \log _{12} |x - 7| - \log _{12} |x - 6|$
Приведём подобные слагаемые:
$8 \log _{12} |x - 6| \leq 8$
Разделим на 8 и перейдём к потенцированию:
$\log _{12} (x - 6)^2 \leq 2$
$(x - 6)^2 \leq 12^2$
$x^2 - 12x + 36 \leq 144$
Перенесём всё в левую часть и разложим на множители:
$x^2 - 12x - 108 \leq 0$
$(x + 6)(x - 18) \leq 0$

Теперь сопоставим полученный результат с ранее найденными ограничениями:

Таким образом, решением неравенства будут интервалы: $x \in [-6; 6) \cup (7; 18]$.

Ответ: $[-6; 6) \cup (7; 18]$

Источник: ФИПИ