Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

Решение:
Исходное уравнение: $2 \sin ^{2} x + \sqrt{2} \sin \left(2 \pi - x\right) + \sqrt{3} \sin 2 x = \sqrt{6} \cos x$.
а) Применим формулу приведения $\sin(2\pi - x) = -\sin x$ и разложим синус двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. Перенесем все слагаемые в левую часть:
$2 \sin ^{2} x - \sqrt{2} \sin x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \sqrt{6} \cos x = 0$.
Воспользуемся методом группировки:
$\sin x (2 \sin x - \sqrt{2}) + \sqrt{3} \cos x (2 \sin x - \sqrt{2}) = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$(2 \sin x - \sqrt{2})(\sin x + \sqrt{3} \cos x) = 0$.
Данное уравнение распадается на два случая:
$\left[\begin{matrix} 2 \sin x - \sqrt{2} = 0 \\ \sin x + \sqrt{3} \cos x = 0 \end{matrix}\right.$
Решим каждое из них:
1) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, откуда $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) Разделим обе части уравнения $\sin x = -\sqrt{3} \cos x$ на $\cos x$ (заметим, что если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно по основному тригонометрическому тождеству):
$\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$, следовательно, $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяя результаты, получаем совокупность решений:
$\left[\begin{matrix} x = \frac{\pi}{4} + 2 \pi k \\ x = \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k \\ x = - \frac{\pi}{3} + \pi k \end{matrix}\right. , k \in \mathbb{Z}$.
б) Выполним отбор корней на заданном промежутке $\left[- \pi ; \frac{\pi}{2}\right]$. Для этого воспользуемся единичной окружностью:

Указанному отрезку соответствуют значения: $x_{1} = \frac{\pi}{4}$ и $x_{2} = - \frac{\pi}{3}$.

Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + 2 \pi k, \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k, - \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $- \frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{4}$.

Источник: ФИПИ