Решение:
Для нахождения точек экстремума вычислим производную заданной функции, используя правило дифференцирования произведения, и приравняем полученное выражение к нулю:
$y' = (e^{x + 4})' \cdot (8x^2 - 40x + 40) + e^{x + 4} \cdot (8x^2 - 40x + 40)' =$
$= e^{x + 4} (8x^2 - 40x + 40) + e^{x + 4} (16x - 40) =$
$= e^{x + 4} (8x^2 - 40x + 40 + 16x - 40) = e^{x + 4} (8x^2 - 24x)$.
Решим уравнение $y' = 0$:
Так как показательная функция $e^{x + 4}$ всегда принимает положительные значения, приравниваем к нулю только квадратный трехчлен:
$8x^2 - 24x = 0$
Разделим обе части на 8 и вынесем общий множитель за скобки:
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$
Отсюда получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Анализируя знаки производной на числовой прямой (метод интервалов), видим, что при переходе через точку $x = 3$ знак производной меняется с минуса на плюс. Следовательно, искомая точка минимума — это $x = 3$.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ