Задание №13 — Оптимизация

Решение:
Введем обозначения согласно условию задачи:
Пусть $t$ — порядковый номер года, тогда рыночная цена ценной бумаги к завершению этого года составляет $t^{2}$ тысяч рублей.
Если же средства переведены на банковский счет, то за каждый полный год сумма на нем возрастает в $1 + r$ раз.
Рассмотрим динамику стоимости бумаги: в конце года $t$ она стоит $t^{2}$, а спустя еще один год — $(t + 1)^{2}$.
Определим относительную доходность ценной бумаги за год (в процентах) по формуле:
$x = \frac{(t + 1)^{2} - t^{2}}{t^{2}} \cdot 100\% = \frac{2t + 1}{t^{2}} \cdot 100\% = \left(\frac{2}{t} + \frac{1}{t^{2}}\right) \cdot 100\%.$
Заметим, что для всех $t \in [1; 20]$ выражение $\left(\frac{2}{t} + \frac{1}{t^{2}}\right)$ является монотонно убывающей функцией. Это означает, что со временем темп роста стоимости бумаги падает, и в определенный момент выгоднее забрать деньги и положить их в банк.
По условию, ценную бумагу продали в конце 9-го года. Это значит, что:
1) В конце 8-го года (когда цена была $8^{2} = 64$ тыс. руб.) продавать было еще невыгодно, так как рост бумаги за 9-й год превысил бы банковский доход.
2) В конце 9-го года (когда цена стала $9^{2} = 81$ тыс. руб.) бумагу продали, так как за следующий (10-й) год банк принесет больше прибыли, чем владение бумагой (цена которой стала бы $10^{2} = 100$ тыс. руб.).
Для выполнения этого условия составим систему неравенств:
$\begin{cases} 64(1 + r) < 81 \\ 81(1 + r) > 100 \end{cases}$
Раскроем скобки и упростим:
$\begin{cases} 64 + 64r < 81 \\ 81 + 81r > 100 \end{cases}$
Перенесем свободные члены в правую часть:
$\begin{cases} 64r < 17 \\ 81r > 19 \end{cases}$
Откуда получаем ограничения для процентной ставки $r$:
$\begin{cases} r < \frac{17}{64} \\ r > \frac{19}{81} \end{cases}$
Таким образом, искомый интервал значений: $r \in \left(\frac{19}{81}; \frac{17}{64}\right)$.

Ответ: $\left(\frac{19}{81}; \frac{17}{64}\right)$

Источник: ФИПИ