Задание №13 — Оптимизация

Решение:
Введём обозначения:
Пусть $t$ — порядковый номер года;
Тогда $t^{2}$ — рыночная цена ценной бумаги к завершению года $t$.
Согласно условию, средства, находящиеся на банковском счёте, ежегодно увеличиваются на 25 %.
Проанализируем динамику стоимости бумаги: в конце года $t$ она стоит $t^{2}$ тыс. рублей, а через год, то есть в конце года $(t + 1)$, её цена составит $(t + 1)^{2}$ тыс. рублей.
Определим функцию $f(t)$, выражающую относительный прирост стоимости ценной бумаги за год в процентах:
$f(t) = \frac{(t + 1)^{2} - t^{2}}{t^{2}} \cdot 100 \%$ — на такую величину вырастет стоимость актива в пенсионном фонде.
Преобразуем выражение:
$f(t) = \frac{t^{2} + 2t + 1 - t^{2}}{t^{2}} \cdot 100 \% = \frac{2t + 1}{t^{2}} \cdot 100 \% = \left(\frac{2t}{t^{2}} + \frac{1}{t^{2}}\right) \cdot 100 \% = \left(\frac{2}{t} + \frac{1}{t^{2}}\right) \cdot 100 \%$
Заметим, что для натуральных значений $t$ данная функция является монотонно убывающей.
Смысл задачи сводится к поиску момента времени, когда доходность бумаги станет ниже банковской ставки в 25 %:
$\left(\frac{2}{t} + \frac{1}{t^{2}}\right) \cdot 100 \% < 25 \%$
Разделим обе части на 25 %:
$\frac{2t + 1}{t^{2}} \cdot 4 < 1$
Приведём к общему знаменателю и перенесём всё в одну сторону:
$\frac{8t + 4}{t^{2}} < 1 \Rightarrow \frac{8t + 4 - t^{2}}{t^{2}} < 0$
Учитывая, что $t > 0$, знаменатель $t^{2}$ всегда положителен, поэтому достаточно решить неравенство для числителя:
$8t + 4 - t^{2} < 0$
Умножим на $-1$, сменив знак неравенства:
$t^{2} - 8t - 4 > 0$
Найдём корни соответствующего квадратного уравнения:
$D = 64 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 64 + 16 = 80$
$t_{1} = \frac{8 + \sqrt{80}}{2} = \frac{8 + 4\sqrt{5}}{2} = 4 + 2\sqrt{5}$
$t_{2} = \frac{8 - \sqrt{80}}{2} = 4 - 2\sqrt{5}$

Решением неравенства является промежуток $t \in (-\infty; 4 - 2\sqrt{5}) \cup (4 + 2\sqrt{5}; +\infty)$.
Поскольку время $t$ — величина положительная, рассматриваем интервал $t \in (4 + 2\sqrt{5}; +\infty)$.
Оценим значение границы: так как $\sqrt{5} \approx 2,23$, то $4 + 2\sqrt{5} \approx 4 + 4,46 = 8,46$.
Минимальное целое число $t$, удовлетворяющее этому условию, равно 9.

Ответ: 9

Источник: ФИПИ