Решение:

Первоначальные инвестиции в возведение завода составляют 78 млн рублей.
Ежегодные эксплуатационные расходы при объёме производства $x$ тыс. единиц продукции описываются функцией $C(x) = 0{,}5x^2 + 2x + 6$ млн рублей.
Таким образом, годовая операционная прибыль предприятия вычисляется как разность между выручкой и затратами: $px - (0{,}5x^2 + 2x + 6)$.
Согласно условию задачи, проект должен окупиться в течение максимум 3 лет. Это означает, что суммарная прибыль за три года должна покрыть стоимость строительства: $$3 \cdot (px - (0{,}5x^2 + 2x + 6)) \geq 78$$ Разделим обе части неравенства на 3: $$px - 0{,}5x^2 - 2x - 6 \geq 26$$ Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные, чтобы получить квадратное неравенство относительно $x$: $$-0{,}5x^2 + (p - 2)x - 32 \geq 0$$ Умножим на $-2$, меняя знак неравенства: $$x^2 + 2(2 - p)x + 64 \leq 0$$ Данное неравенство имеет решения (существуют такие значения $x$), если дискриминант соответствующего квадратного трехчлена не меньше нуля: $$D = (2(2 - p))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 4(4 - 4p + p^2) - 256 = 4p^2 - 16p + 16 - 256 = 4p^2 - 16p - 240$$ Условие $D \geq 0$ принимает вид: $$4p^2 - 16p - 240 \geq 0$$ Разделим на 4 для упрощения вычислений: $$p^2 - 4p - 60 \geq 0$$ Найдем корни уравнения $p^2 - 4p - 60 = 0$: $$p_1 = 10, \quad p_2 = -6$$
Решением неравенства является объединение промежутков: $p \in (-\infty; -6] \cup [10; +\infty)$.
Поскольку цена $p$ — величина положительная, нам подходит только луч $p \geq 10$. Минимально возможное целое значение цены составляет 10 тыс. рублей.

Ответ: 10 тыс. рублей

Источник: ФИПИ