Задание 13

Экономическая задача · 80 заданий

Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 250000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравне…
Целые и дробно-рацион. ур-я
Задание №13
№13Сложное
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 300000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравне…
Прогрессии
Задание №13
№13Сложное
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
Строительство нового завода стоит 100 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5 x² + x + 7) млн рублей в…
Целые и дробно-рацион. нер-ва
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия по этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 819…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия н этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 4880…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле планируется открыть вклад в банке под 20% годовых на некоторую сумму. В начале 2, 3 и 4 годов со вклада снимают одну и ту же сумму. Найдите исх…
Прогрессии
Задание №13
№13Среднее
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 миллионов рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого меся…
Прогрессии
Задание №13
№13Среднее
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на 9 миллионов рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца до…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 20000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 20000 - P. Затраты на прои…
Дроби, проценты
Задание №13
№13Лёгкое
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 15000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 15000 - P. Затраты на прои…
Дроби, проценты

Задание №13 — Оптимизация

Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство $x$ тыс. единиц продукции на таком заводе равны $( 0{,}5 x^{2} + 2 x + 6 )$ млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px - ( 0{,}5 x^{2} + 2 x + 6 ) .$ Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении $p$ строительство завода окупится не больше чем за 3 года?

Ответ дайте в тысячах рублей.

Правильный ответ

Пояснение

Решение:

Первоначальные инвестиции в возведение завода составляют 78 млн рублей.
Ежегодные эксплуатационные расходы при объёме производства $x$ тыс. единиц продукции описываются функцией $C(x) = 0{,}5x^2 + 2x + 6$ млн рублей.
Таким образом, годовая операционная прибыль предприятия вычисляется как разность между выручкой и затратами: $px - (0{,}5x^2 + 2x + 6)$ .
Согласно условию задачи, проект должен окупиться в течение максимум 3 лет. Это означает, что суммарная прибыль за три года должна покрыть стоимость строительства: $3 \cdot (px - (0{,}5x^2 + 2x + 6)) \geq 78$ Разделим обе части неравенства на 3: $px - 0{,}5x^2 - 2x - 6 \geq 26$ Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные, чтобы получить квадратное неравенство относительно $x$ : $-0{,}5x^2 + (p - 2)x - 32 \geq 0$ Умножим на $-2$ , меняя знак неравенства: $x^2 + 2(2 - p)x + 64 \leq 0$ Данное неравенство имеет решения (существуют такие значения $x$ ), если дискриминант соответствующего квадратного трехчлена не меньше нуля: $D = (2(2 - p))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 4(4 - 4p + p^2) - 256 = 4p^2 - 16p + 16 - 256 = 4p^2 - 16p - 240$ Условие $D \geq 0$ принимает вид: $4p^2 - 16p - 240 \geq 0$ Разделим на 4 для упрощения вычислений: $p^2 - 4p - 60 \geq 0$ Найдем корни уравнения $p^2 - 4p - 60 = 0$ : $p_1 = 10, \quad p_2 = -6$
Решением неравенства является объединение промежутков: $p \in (-\infty; -6] \cup [10; +\infty)$ .
Поскольку цена $p$ — величина положительная, нам подходит только луч $p \geq 10$ . Минимально возможное целое значение цены составляет 10 тыс. рублей.

Ответ: 10 тыс. рублей

Источник: ФИПИ