Задание №13 — Оптимизация

Решение:
Введем обозначения согласно условию задачи:
Пусть $t$ — порядковый номер года;
Тогда рыночная стоимость ценной бумаги к завершению года $t$ составляет $t^{2}$ тысяч рублей.
Если средства переведены на банковский счет, то ежегодно сумма на нем возрастает в $(1 + r)$ раз.
Рассмотрим динамику стоимости бумаг: в конце года $t$ они оцениваются в $t^{2}$ руб., а к концу следующего года $(t+1)$ их цена составит $(t + 1)^{2}$ тыс. руб.
Определим относительный прирост стоимости ценной бумаги за год (в процентах):
$x = \frac{(t + 1)^{2} - t^{2}}{t^{2}} \cdot 100 \% = \frac{2t + 1}{t^{2}} \cdot 100 \% = \left(\frac{2}{t} + \frac{1}{t^{2}}\right) \cdot 100 \%$
Заметим, что для всех $t \in [1; 25]$ данная функция $f(t) = \frac{2}{t} + \frac{1}{t^{2}}$ является монотонно убывающей. Это означает, что доходность ценной бумаги с каждым годом падает, и в определенный момент выгоднее будет забрать деньги и положить их в банк под процент $r$.
По условию, оптимально продать бумаги в течение 21-го года. Это значит, что в конце 20-го года доходность бумаг еще выше банковской, а в конце 21-го года — уже ниже.
Вычислим стоимость активов в соответствующие периоды:
Конец 20-го года: $20^{2} = 400$ тыс. руб.
Конец 21-го года: $21^{2} = 441$ тыс. руб.
Конец 22-го года: $22^{2} = 484$ тыс. руб.
Чтобы продажа в 21-м году была оправдана, должны выполняться следующие условия:
1) В конце 20-го года выгоднее оставить деньги в бумагах, чем переложить в банк: $400(1 + r) < 441$.
2) В конце 21-го года выгоднее переложить деньги в банк, чем оставить в бумагах еще на год: $441(1 + r) > 484$.
Сформируем систему неравенств:
$$\begin{cases} 400(r + 1) < 441 \\ 441(r + 1) > 484 \end{cases}$$
Раскроем скобки и решим относительно $r$:
$$\begin{cases} 400r + 400 < 441 \\ 441r + 441 > 484 \end{cases}$$
$$\begin{cases} 400r < 41 \\ 441r > 43 \end{cases}$$
Отсюда получаем границы для процентной ставки:
$$\begin{cases} r < \frac{41}{400} \\ r > \frac{43}{441} \end{cases}$$
Таким образом, искомый интервал значений: $r \in \left(\frac{43}{441} ; \frac{41}{400}\right)$.

Ответ: $\left(\frac{43}{441} ; \frac{41}{400}\right)$

Источник: ФИПИ