Задание №13 — Оптимизация

Решение:
Введем обозначения:
Пусть $t$ — порядковый номер года;
Тогда $t^{2}$ — рыночная цена ценной бумаги к завершению года $t$.
Согласно условию, банковский счет ежегодно приносит доход в размере 10%.
Рассмотрим изменение стоимости бумаги: если в конце года $t$ она стоила $t^{2}$ тыс. руб., то к концу года $(t+1)$ её цена составит $(t+1)^{2}$ тыс. руб.
Определим функцию $f(t)$, выражающую относительный прирост стоимости ценной бумаги за год в процентах:
$f(t) = \frac{(t+1)^{2} - t^{2}}{t^{2}} \cdot 100\%$
Данная величина показывает процентную доходность активов фонда, если они остаются в ценных бумагах.
Преобразуем выражение:
$f(t) = \frac{t^{2} + 2t + 1 - t^{2}}{t^{2}} \cdot 100\% = \frac{2t + 1}{t^{2}} \cdot 100\% = \left(\frac{2}{t} + \frac{1}{t^{2}}\right) \cdot 100\%$.
Заметим, что для всех натуральных $t$ эта функция является убывающей.
Следовательно, нам необходимо вычислить, в какой момент времени годовой прирост по бумаге станет выгоднее заменить банковской ставкой, то есть когда доходность опустится ниже 10%:
$100\% \cdot \left(\frac{2}{t} + \frac{1}{t^{2}}\right) < 10\%$
Разделим обе части на 10:
$\frac{20t + 10}{t^{2}} < 1$
Перенесем всё в одну сторону и приведем к общему знаменателю:
$\frac{20t + 10 - t^{2}}{t^{2}} < 0$
Учитывая, что $t > 0$, знаменатель $t^{2}$ всегда положителен, поэтому знак дроби зависит только от числителя:
$20t + 10 - t^{2} < 0$
Умножим на $-1$, меняя знак неравенства:
$t^{2} - 20t - 10 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения через дискриминант:
$D = (-20)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 400 + 40 = 440$
$t_{1} = \frac{20 + \sqrt{440}}{2} = \frac{20 + 2\sqrt{110}}{2} = 10 + \sqrt{110}$
$t_{2} = \frac{20 - \sqrt{440}}{2} = 10 - \sqrt{110}$

Решением неравенства является интервал $t \in (-\infty; 10 - \sqrt{110}) \cup (10 + \sqrt{110}; +\infty)$.
Так как по смыслу задачи $t$ — положительное число, рассматриваем промежуток $t > 10 + \sqrt{110}$.
Оценим значение: так как $10^2 = 100$ и $11^2 = 121$, то $\sqrt{110} \approx 10,48$.
Тогда $t > 10 + 10,48$, то есть $t > 20,48$.
Минимальное целое значение $t$, удовлетворяющее этому условию, равно 21.

Ответ: 21

Источник: ФИПИ