Задание 13

Экономическая задача · 80 заданий

Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 250000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравне…
Целые и дробно-рацион. ур-я
Задание №13
№13Сложное
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 300000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравне…
Прогрессии
Задание №13
№13Сложное
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
Строительство нового завода стоит 100 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5 x² + x + 7) млн рублей в…
Целые и дробно-рацион. нер-ва
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия по этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 819…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия н этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 4880…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле планируется открыть вклад в банке под 20% годовых на некоторую сумму. В начале 2, 3 и 4 годов со вклада снимают одну и ту же сумму. Найдите исх…
Прогрессии
Задание №13
№13Среднее
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 миллионов рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого меся…
Прогрессии
Задание №13
№13Среднее
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на 9 миллионов рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца до…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 20000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 20000 - P. Затраты на прои…
Дроби, проценты
Задание №13
№13Лёгкое
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 15000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 15000 - P. Затраты на прои…
Дроби, проценты

Задание №13 — Кредиты

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика будет меньше 7 млн рублей.

Правильный ответ

Пояснение

Решение:
Введем обозначения для условий задачи:
Пусть $S$ — исходная сумма кредита в миллионах рублей (по условию $S \in \mathbb{Z}$ ).
Процентная ставка составляет $r = 20\%$ , что соответствует коэффициенту увеличения долга $k = 1{,}2$ .
Обозначим через $x$ размер равных платежей, произведенных в последние два года (4-й и 5-й годы).
Общий срок кредитования $n = 5$ лет.

Составим таблицу движения денежных средств:

Год	Остаток (до %)	Долг с процентами	Платеж	Остаток (после выплаты)
1	$S$	$1{,}2 S$	$0{,}2 S$	$S$
2	$S$	$1{,}2 S$	$0{,}2 S$	$S$
3	$S$	$1{,}2 S$	$0{,}2 S$	$S$
4	$S$	$1{,}2 S$	$x$	$1{,}2 S - x$
5	$1{,}2 S - x$	$1{,}2(1{,}2 S - x)$	$x$	0

Исходя из того, что в конце пятого года кредит полностью погашен, составим уравнение:
$1{,}2 (1{,}2 S - x) - x = 0$
Раскроем скобки и выразим $x$ через $S$ :
$1{,}44 S - 1{,}2 x - x = 0 \Rightarrow 1{,}44 S = 2{,}2 x$
Отсюда находим величину платежа:
$x = \frac{1{,}44}{2{,}2} S = \frac{144}{220} S = \frac{36}{55} S$ .

Теперь рассчитаем общую сумму всех выплат банку за 5 лет:
$P = 3 \cdot (0{,}2 S) + 2 \cdot x = 0{,}6 S + 2 \cdot \frac{36}{55} S$
Приведем к общему знаменателю:
$P = \frac{6}{10} S + \frac{72}{55} S = \frac{3}{5} S + \frac{72}{55} S = \frac{33 + 72}{55} S = \frac{105}{55} S = \frac{21}{11} S$ .

По условию задачи совокупные выплаты не должны превышать 7 миллионов рублей:
$\frac{21}{11} S < 7$
Разделим обе части на 7 и умножим на 11:
$3 S < 11 \Rightarrow S < \frac{11}{3} \Rightarrow S < 3{,}66...$
Так как $S$ — целое число, максимально возможное значение суммы кредита равно 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ