Задание №15 — Логарифмические неравенства

Разбор решения:
Исходное неравенство: $$\frac{\log _{4} ( 64 x )}{\log _{4} x - 3} + \frac{\log _{4} x - 3}{\log _{4} ( 64 x )} \geq \frac{\log _{4} x^{4} + 16}{\log _{4}^{2} x - 9}$$ Применим свойства логарифма произведения и степени: $$\frac{3 + \log _{4} x}{\log _{4} x - 3} + \frac{\log _{4} x - 3}{3 + \log _{4} x} \geq \frac{4\log _{4} x + 16}{\log _{4}^{2} x - 9}$$ Учтем область допустимых значений переменной: $x > 0$.
Для упрощения вычислений введем новую переменную, пусть $\log _{4} x = t$.
Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t + 3}{t - 3} + \frac{t - 3}{t + 3} \geq \frac{4 t + 16}{t^{2} - 9}$$ Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем их к общему знаменателю $(t-3)(t+3) = t^2 - 9$: $$\frac{(t + 3)^2 + (t - 3)^2 - (4t + 16)}{(t - 3)(t + 3)} \geq 0$$ Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $$\frac{t^2 + 6t + 9 + t^2 - 6t + 9 - 4t - 16}{(t - 3)(t + 3)} \geq 0$$ $$\frac{2t^2 - 4t + 2}{(t - 3)(t + 3)} \geq 0$$ Вынесем общий множитель и заметим формулу квадрата разности: $$\frac{2(t^2 - 2t + 1)}{(t - 3)(t + 3)} \geq 0 \implies \frac{2(t - 1)^2}{(t - 3)(t + 3)} \geq 0$$ Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Из чертежа видно, что решениями для $t$ являются промежутки: $$\left[\begin{matrix} t < -3 \\ t = 1 \\ t > 3 \end{matrix}\right.$$ Выполним переход обратно к переменной $x$: $$\left[\begin{matrix} \log _{4} x < -3 \\ \log _{4} x = 1 \\ \log _{4} x > 3 \end{matrix}\right. \iff \left[\begin{matrix} x < 4^{-3} \\ x = 4^1 \\ x > 4^3 \end{matrix}\right. \iff \left[\begin{matrix} x < \frac{1}{64} \\ x = 4 \\ x > 64 \end{matrix}\right.$$ С учетом условия $x > 0$ получаем итоговое множество решений:

Ответ: $\left(0 ; \frac{1}{64}\right) \cup \{4\} \cup (64 ; +\infty)$

Источник: ФИПИ