Задание №15 — Логарифмические неравенства

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $\log _{2^{3}} ( x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 ) \geq \log _{2} ( x^{2} - 1 ) - 5$.
Заметим, что выражение в первом логарифме представляет собой куб разности: $\log _{2^{3}} (x - 1)^{3} \geq \log _{2} (x^{2} - 1) - \log _{2} 32$.
Используя свойства логарифма (вынесение показателей степени), упростим левую часть и перенесем константу: $\frac{3}{3} \log _{2} (x - 1) + \log _{2} 32 \geq \log _{2} (x^{2} - 1)$.
Применим свойство суммы логарифмов: $\log _{2} (32(x - 1)) \geq \log _{2} (x^{2} - 1)$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$:
$\begin{cases} (x - 1)^{3} > 0 \\ x^{2} - 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x - 1 > 0 \\ (x - 1)(x + 1) > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 1$.
Следовательно, $x \in (1; +\infty)$.
Поскольку основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция возрастает, и мы переходим к сравнению аргументов с сохранением знака неравенства:
$32(x - 1) \geq x^{2} - 1$.
Разложим разность квадратов в правой части и перенесем всё в одну сторону:
$32(x - 1) - (x - 1)(x + 1) \geq 0$.
Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:
$(x - 1)(32 - (x + 1)) \geq 0$,
$(x - 1)(31 - x) \geq 0$.
Найдем пересечение полученного решения с условием ОДЗ:

Ответ: $x \in (1; 31]$

Источник: ФИПИ