Задание №15 — Логарифмические неравенства

Решение:
Дано логарифмическое неравенство: $$\log _{7} ( 2 x^{2} + 12 ) - \log _{7} ( x^{2} - x + 12 ) \geq \log _{7} \left(2 - \frac{1}{x}\right)$$ Используя свойство разности логарифмов, преобразуем левую часть: $$\log _{7} \left(\frac{2 x^{2} + 12}{x^{2} - x + 12}\right) \geq \log _{7} \left(2 - \frac{1}{x}\right)$$ Поскольку основание логарифма $7 > 1$, логарифмическая функция возрастает, и мы переходим к сравнению аргументов с сохранением знака неравенства: $$\frac{2 x^{2} + 12}{x^{2} - x + 12} \geq 2 - \frac{1}{x}$$ Учтём область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными: $$\begin{cases} 2x^2 + 12 > 0 \\ x^2 - x + 12 > 0 \\ 2 - \frac{1}{x} > 0 \end{cases}$$ Заметим, что $x^2 + 6$ всегда больше нуля. Квадратный трёхчлен $x^2 - x + 12$ также всегда положителен, так как его дискриминант отрицателен. Решим последнее неравенство системы: $$\begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ x \in \mathbb{R} \\ \frac{2x - 1}{x} > 0 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; 0) \cup (0,5; +\infty)$$
Теперь решим основное рациональное неравенство, перенеся все слагаемые в левую часть: $$\frac{2 x^{2} + 12}{x^{2} - x + 12} - 2 + \frac{1}{x} \geq 0$$ Приведём выражение к общему знаменателю $x(x^2 - x + 12)$: $$\frac{x(2x^2 + 12) - 2x(x^2 - x + 12) + (x^2 - x + 12)}{x(x^2 - x + 12)} \geq 0$$ Раскроем скобки и упростим числитель: $$\frac{2x^3 + 12x - 2x^3 + 2x^2 - 24x + x^2 - x + 12}{x(x^2 - x + 12)} \geq 0$$ $$\frac{3x^2 - 13x + 12}{x(x^2 - x + 12)} \geq 0$$ Разложим числитель на множители, найдя корни уравнения $3x^2 - 13x + 12 = 0$: $$\frac{3(x - \frac{4}{3})(x - 3)}{x(x^2 - x + 12)} \geq 0$$ Для знаменателя проверим выражение $x^2 - x + 12$: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 12 = -47 < 0$$ Следовательно, $x^2 - x + 12$ всегда принимает положительные значения и не влияет на знак дроби. Решим неравенство методом интервалов:
Найдём пересечение полученного решения с условиями ОДЗ:

Ответ: $\left( \frac{1}{2} ; \frac{4}{3} \right] \cup [ 3 ; + \infty )$

Источник: ФИПИ