Задание №16 — Логарифмические неравенства

Разбор решения:
Дано неравенство: $x^{2} \log _{512} ( x + 7 ) \leq \log _{2} ( x^{2} + 14 x + 49 )$.
Преобразуем обе части выражения, используя свойства логарифмов. Заметим, что $512 = 2^9$, а выражение под логарифмом справа представляет собой полный квадрат: $x^2 + 14x + 49 = (x + 7)^2$.
$$x^{2} \log _{2^{9}} (x + 7) \leq \log _{2} (x + 7)^{2}$$ Вынесем показатели степеней за знаки логарифмов:
$$\frac{x^{2}}{9} \log _{2} (x + 7) \leq 2 \log _{2} |x + 7|$$ Учтем область допустимых значений переменной:
$\begin{cases} x + 7 > 0 \\ (x + 7)^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow x > -7$.
Так как при $x > -7$ выражение $x + 7$ всегда положительно, модуль можно опустить: $|x + 7| = x + 7$.
Перенесем все слагаемые в левую часть для последующего разложения на множители:
$$\frac{x^{2}}{9} \log _{2} (x + 7) - 2 \log _{2} (x + 7) \leq 0$$ Вынесем общий множитель $\log _{2} (x + 7)$ за скобки:
$$\log _{2} (x + 7) \left(\frac{x^{2}}{9} - 2\right) \leq 0$$ Умножим неравенство на 9, чтобы избавиться от знаменателя:
$$\log _{2} (x + 7) (x^{2} - 18) \leq 0$$ Применим метод рационализации для логарифмического множителя (учитывая, что основание $2 > 1$):
$$(2 - 1)(x + 7 - 1)(x^2 - 18) \leq 0$$ $$(x + 6)(x^2 - 18) \leq 0$$ Решим полученное неравенство методом интервалов, отметив корни на числовой прямой:


Множество решений данного неравенства: $x \in (-\infty; -6] \cup [-\sqrt{18}; \sqrt{18}]$.
С учетом условия $x > -7$, получаем итоговый промежуток.

Ответ: $(-7; -6] \cup [-3\sqrt{2}; 3\sqrt{2}]$

Источник: ФИПИ