Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $$\frac{\log _{2} 32 x}{\log _{2} x - 5} + \frac{\log _{2} x - 5}{\log _{2} 32 x} \geq \frac{\log _{2} x^{16} + 18}{\log _{2}^{2} x - 25}$$ Найдём область допустимых значений переменной. Исходя из определения логарифма, аргумент должен быть положительным: $x > 0$.
Преобразуем логарифмы, используя свойства произведения и степени: $$\frac{\log _{2} 32 + \log _{2} x}{\log _{2} x - 5} + \frac{\log _{2} x - 5}{\log _{2} 32 + \log _{2} x} \geq \frac{16 \log _{2} |x| + 18}{(\log _{2} x - 5)(\log _{2} x + 5)}$$ Так как $32 = 2^5$, а при $x > 0$ модуль $|x| = x$, получаем: $$\frac{5 + \log _{2} x}{\log _{2} x - 5} + \frac{\log _{2} x - 5}{5 + \log _{2} x} \geq \frac{16 \log _{2} x + 18}{\log _{2}^{2} x - 25}$$ Для упрощения вычислений введём новую переменную $t = \log _{2} x$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t + 5}{t - 5} + \frac{t - 5}{t + 5} \geq \frac{16 t + 18}{t^2 - 25}$$ Перенесём всё в левую часть и приведём дроби к общему знаменателю $(t - 5)(t + 5)$: $$\frac{(t + 5)^2 + (t - 5)^2 - (16t + 18)}{(t - 5)(t + 5)} \geq 0$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{t^2 + 10t + 25 + t^2 - 10t + 25 - 16t - 18}{(t - 5)(t + 5)} \geq 0$$ $$\frac{2t^2 - 16t + 32}{(t - 5)(t + 5)} \geq 0$$ Разделим числитель на 2 и заметим формулу квадрата разности: $$\frac{(t - 4)^2}{(t + 5)(t - 5)} \geq 0$$ Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Перейдём к совокупности условий для переменной $t$: $$\left[\begin{matrix} t < -5 \\ t = 4 \\ t > 5 \end{matrix}\right.$$ Выполним обратную подстановку, заменяя $t$ на $\log _{2} x$: $$\left[\begin{matrix} \log _{2} x < -5 \\ \log _{2} x = 4 \\ \log _{2} x > 5 \end{matrix}\right. \iff \left[\begin{matrix} x < 2^{-5} \\ x = 2^4 \\ x > 2^5 \end{matrix}\right. \iff \left[\begin{matrix} x < \frac{1}{32} \\ x = 16 \\ x > 32 \end{matrix}\right.$$ С учётом условия $x > 0$, отметим решения на числовой прямой:

Ответ: $\left(0 ; \frac{1}{32}\right) \cup \{16\} \cup (32 ; +\infty)$

Источник: ФИПИ