Задание №16 — Рациональные неравенства

Разбор решения:
Исходное неравенство: $\frac{3^{x} + 9}{3^{x} - 9} + \frac{3^{x} - 9}{3^{x} + 9} \geq \frac{4 \cdot 3^{x + 1} + 144}{9^{x} - 81}$.
Для упрощения введем новую переменную, пусть $3^{x} = t$, где $t > 0$.
Заметим, что $9^x - 81 = (3^x)^2 - 9^2 = (t-9)(t+9)$. Тогда неравенство примет вид:
$\frac{t + 9}{t - 9} + \frac{t - 9}{t + 9} \geq \frac{12t + 144}{(t - 9)(t + 9)}$.
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем их к общему знаменателю:
$\frac{(t + 9)^{2} + (t - 9)^{2} - (12t + 144)}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0$.
Раскроем скобки в числителе: $t^2 + 18t + 81 + t^2 - 18t + 81 - 12t - 144 = 2t^2 - 12t + 18$.
Получаем рациональное неравенство:
$\frac{2(t^2 - 6t + 9)}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0$, что эквивалентно $\frac{2(t - 3)^{2}}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0$.
Решим полученное неравенство относительно $t$ методом интервалов:

Учитывая область допустимых значений и знак выражения, получаем совокупность условий для $t$:
$\left[\begin{matrix} t < -9 \\ t = 3 \\ t > 9 \end{matrix}\right.$
Выполним переход к исходной переменной $x$:
$\left[\begin{matrix} 3^{x} < -9 \\ 3^{x} = 3 \\ 3^{x} > 9 \end{matrix}\right.$
1) Уравнение $3^x < -9$ не имеет решений, так как показательная функция всегда положительна.
2) Из $3^x = 3^1$ следует, что $x = 1$.
3) Из $3^x > 3^2$ следует, что $x > 2$.
Объединяя результаты, получаем итоговое множество решений.

Ответ: $\{1\} \cup (2; +\infty)$

Источник: ФИПИ