Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Исходное неравенство: $$\frac{\log _{5} ( 25 x )}{\log _{5} x - 2} + \frac{\log _{5} x - 2}{\log _{5} ( 25 x )} \geq \frac{6 - \log _{5} x^{4}}{\log _{5}^{2} x - 4}$$ Применим свойства логарифма произведения и степени, учитывая область определения: $$\frac{\log _{5} 25 + \log _{5} x}{\log _{5} x - 2} + \frac{\log _{5} x - 2}{\log _{5} 25 + \log _{5} x} \geq \frac{6 - 4 \log _{5} |x|}{\log _{5}^{2} x - 4}$$ Зададим область допустимых значений переменной: $x > 0$. При этом условии $|x| = x$. Перепишем выражение: $$\frac{2 + \log _{5} x}{\log _{5} x - 2} + \frac{\log _{5} x - 2}{2 + \log _{5} x} \geq \frac{6 - 4 \log _{5} x}{(\log _{5} x - 2)(\log _{5} x + 2)}$$ Для упрощения введем новую переменную, пусть $\log _{5} x = t$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{2 + t}{t - 2} + \frac{t - 2}{2 + t} \geq \frac{6 - 4 t}{t^{2} - 4}$$ Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю $(t-2)(t+2)$: $$\frac{(2 + t)^{2} + (t - 2)^{2} - (6 - 4 t)}{(t - 2)(t + 2)} \geq 0$$ Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $$\frac{4 + 4t + t^{2} + t^{2} - 4t + 4 - 6 + 4t}{(t - 2)(t + 2)} \geq 0$$ $$\frac{2t^{2} + 4t + 2}{(t - 2)(t + 2)} \geq 0$$ Вынесем общий множитель и свернем числитель по формуле квадрата суммы: $$\frac{2(t^{2} + 2t + 1)}{(t - 2)(t + 2)} \geq 0 \implies \frac{2(t + 1)^{2}}{(t - 2)(t + 2)} \geq 0$$ Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Перейдем от переменной $t$ обратно к $x$: $$\left[\begin{matrix} t < - 2 \\ t = - 1 \\ t > 2 \end{matrix}\right. \iff \left[\begin{matrix} \log _{5} x < - 2 \\ \log _{5} x = - 1 \\ \log _{5} x > 2 \end{matrix}\right. \iff \left[\begin{matrix} x < 5^{-2} \\ x = 5^{-1} \\ x > 5^{2} \end{matrix}\right. \iff \left[\begin{matrix} x < \frac{1}{25} \\ x = \frac{1}{5} \\ x > 25 \end{matrix}\right.$$ С учетом условия $x > 0$ получаем итоговое решение:

Ответ: $\left(0 ; \frac{1}{25}\right) \cup \left\{\frac{1}{5}\right\} \cup \left(25 ; + \infty\right)$

Источник: ФИПИ