Задание №15 — Рациональные неравенства

Разбор решения:
Дано показательное неравенство: $\frac{1}{3^{x} + 21} + \frac{1}{3^{x} - 27} \geq 0$.
Для упрощения введём новую переменную, пусть $3^{x} = t$, где $t > 0$.
Тогда неравенство примет вид: $\frac{1}{t + 21} + \frac{1}{t - 27} \geq 0$.
Приведём дроби к общему знаменателю:
$\frac{(t - 27) + (t + 21)}{(t + 21)(t - 27)} \geq 0$
Упростим числитель полученного выражения:
$\frac{2t - 6}{(t + 21)(t - 27)} \geq 0$
Вынесем общий множитель в числителе:
$\frac{2(t - 3)}{(t + 21)(t - 27)} \geq 0$
Решим данное рациональное неравенство относительно $t$ методом интервалов:

Перейдём обратно к переменной $x$, учитывая найденные промежутки для $t$:
$\left[\begin{matrix} -21 < t \leq 3 \\ t > 27 \end{matrix}\right.$
Подставим $3^{x}$ вместо $t$:
\left[\begin{matrix} \begin{cases} 3^{x} > -21 \\ 3^{x} \leq 3^1 \end{cases} \\ 3^{x} > 3^3 \end{cases}\right.
Так как $3^x$ всегда больше нуля, условие $3^x > -21$ выполняется при любых действительных $x$. Решая остальные неравенства, получаем:
$\left[\begin{matrix} \begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ x \leq 1 \end{cases} \\ x > 3 \end{matrix}\right.$
Объединяя результаты, находим итоговое множество решений.

Ответ: $(-\infty; 1] \cup (3; +\infty)$

Источник: ФИПИ