Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Дано неравенство: $\log_{0{,}5} (x^3 - 3x^2 - 9x + 27) \leq \log_{0{,}25} (x - 3)^4$.
Для начала упростим многочлен в аргументе левого логарифма методом группировки:
$x^3 - 3x^2 - 9x + 27 = x^2(x - 3) - 9(x - 3) = (x^2 - 9)(x - 3) = (x - 3)(x + 3)(x - 3) = (x - 3)^2(x + 3)$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ), учитывая, что аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$$\begin{cases} x^3 - 3x^2 - 9x + 27 > 0 \\ (x - 3)^4 > 0 \end{cases}$$ Подставим разложение:
$$\begin{cases} (x - 3)^2(x + 3) > 0 \\ (x - 3)^4 > 0 \end{cases}$$
Решением системы ограничений является множество: $x \in (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.
Теперь перейдем к решению самого неравенства, приведя логарифмы к общему основанию $\frac{1}{2}$:
$\log_{\frac{1}{2}} ((x - 3)^2(x + 3)) \leq \log_{(\frac{1}{2})^2} (x - 3)^4$
Используя свойство степени основания $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$, получаем:
$\log_{\frac{1}{2}} ((x - 3)^2(x + 3)) \leq \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} (x - 3)^4$
Внесем коэффициент перед правым логарифмом в показатель степени аргумента:
$\log_{\frac{1}{2}} ((x - 3)^2(x + 3)) \leq \log_{\frac{1}{2}} ((x - 3)^4)^{\frac{1}{2}}$
$\log_{\frac{1}{2}} ((x - 3)^2(x + 3)) \leq \log_{\frac{1}{2}} (x - 3)^2$
Так как основание логарифма $0{,}5 < 1$, при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный:
$(x - 3)^2(x + 3) \geq (x - 3)^2$
Перенесем всё в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:
$(x - 3)^2(x + 3) - (x - 3)^2 \geq 0$
$(x - 3)^2(x + 3 - 1) \geq 0$
$(x - 3)^2(x + 2) \geq 0$
Решим полученное неравенство методом интервалов:

Отсюда получаем промежуток: $x \in [-2; +\infty)$.
На финальном этапе найдем пересечение полученного решения с областью допустимых значений:

Ответ: $[-2; 3) \cup (3; +\infty)$

Источник: ФИПИ