Решение:
Исходное неравенство: $\log _{3} \left(\frac{1}{x} + 2\right) - \log _{3} ( x + 5 ) \geq \log _{3} \left(\frac{x + 4}{x^{2}}\right)$.
Воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием и перейдем к логарифму частного:
$\log _{3} \left(\frac{\frac{1}{x} + 2}{x + 5}\right) \geq \log _{3} \left(\frac{x + 4}{x^{2}}\right)$.
Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция возрастает, и мы можем перейти к сравнению аргументов, сохраняя знак неравенства:
$\frac{\frac{1}{x} + 2}{x + 5} \geq \frac{x + 4}{x^{2}}$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ), учитывая положительность выражений под знаками логарифмов:
$\left\{\begin{matrix} \frac{1 + 2x}{x} > 0 \\ x + 5 > 0 \\ \frac{x + 4}{x^{2}} > 0 \end{matrix}\right.$
Решая данную систему, получаем условия на $x$:
$\left\{\begin{matrix} x \in \left(- \infty ; - \frac{1}{2}\right) \cup \left(0 ; + \infty\right) \\ x > - 5 \\ x \in \left(- 4 ; 0\right) \cup \left(0 ; + \infty\right) \end{matrix}\right.$

Таким образом, ограничения для переменной: $x \in \left(- 4 ; - \frac{1}{2}\right) \cup \left(0 ; + \infty\right)$.
Теперь преобразуем основное неравенство, перенеся все члены в левую часть и приведя их к общему знаменателю:
$\frac{x^{2} \left(\frac{1 + 2x}{x}\right) - (x + 5)(x + 4)}{x^{2}(x + 5)} \geq 0$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{x(1 + 2x) - (x^{2} + 9x + 20)}{x^{2}(x + 5)} \geq 0$
$\frac{x + 2x^{2} - x^{2} - 9x - 20}{x^{2}(x + 5)} \geq 0$
Упростим выражение в числителе:
$\frac{x^{2} - 8x - 20}{x^{2}(x + 5)} \geq 0$
Разложим квадратный трехчлен на множители:
$\frac{(x + 2)(x - 10)}{x^{2}(x + 5)} \geq 0$
Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Получаем промежутки: $x \in (-5; -2] \cup [10; +\infty)$.
На финальном этапе найдем пересечение найденных решений с областью ограничений:

Ответ: $(-4; -2] \cup [10; +\infty)$.

Источник: ФИПИ