Задание №15 — Рациональные неравенства

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $11^{x} - 6 - \frac{24 \cdot 11^{x} - 244}{121^{x} - 16 \cdot 11^{x} + 60} \leq \frac{1}{11^{x} - 10}$.
Заметим, что $121^x = (11^x)^2$, и перепишем выражение в следующем виде: $11^{x} - 6 - \frac{24 \cdot 11^{x} - 244}{\left(11^{x}\right)^{2} - 16 \cdot 11^{x} + 60} \leq \frac{1}{11^{x} - 10}$.
Для упрощения вычислений введем новую переменную $t = 11^{x}$, где $t > 0$.
Тогда неравенство примет вид: $t - 6 - \frac{24 t - 244}{t^{2} - 16 t + 60} \leq \frac{1}{t - 10}$.
Разложим квадратный трехчлен в знаменателе дроби на множители: $t^2 - 16t + 60 = (t - 10)(t - 6)$.
Подставим это в неравенство: $t - 6 - \frac{24 t - 244}{(t - 10)(t - 6)} \leq \frac{1}{t - 10}$.
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем их к общему знаменателю $(t - 6)(t - 10)$:
$\frac{(t - 6)^2 (t - 10) - (24t - 244) - (t - 6)}{(t - 6)(t - 10)} \leq 0$.
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{(t^2 - 12t + 36)(t - 10) - 24t + 244 - t + 6}{(t - 6)(t - 10)} \leq 0$;
$\frac{t^3 - 10t^2 - 12t^2 + 120t + 36t - 360 - 25t + 250}{(t - 6)(t - 10)} \leq 0$;
$\frac{t^3 - 22t^2 + 131t - 110}{(t - 6)(t - 10)} \leq 0$.
Теперь разложим на множители многочлен в числителе. Найдем корни уравнения $t^3 - 22t^2 + 131t - 110 = 0$.
Среди делителей свободного члена $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10, \dots$ подбором находим корень $t = 10$:
$10^3 - 22 \cdot 10^2 + 131 \cdot 10 - 110 = 1000 - 2200 + 1310 - 110 = 0$.
Разделив многочлен на $(t - 10)$, получим:
$t^3 - 22t^2 + 131t - 110 = (t - 10)(t^2 - 12t + 11)$.
Далее разложим квадратный трехчлен $t^2 - 12t + 11$. Его корнями являются $t = 1$ и $t = 11$.
Таким образом, числитель равен $(t - 10)(t - 11)(t - 1)$.
Итоговое рациональное неравенство относительно $t$:
$\frac{(t - 10)(t - 11)(t - 1)}{(t - 6)(t - 10)} \leq 0$.
Решим его методом интервалов, учитывая, что $t \neq 10$ и $t \neq 6$:

Перейдем к обратной замене. Получаем совокупность условий для $t$:
$\left[\begin{matrix} t \leq 1 \\ 6 < t < 10 \\ 10 < t \leq 11 \end{matrix}\right.$
Возвращаемся к переменной $x$, учитывая, что $t = 11^x$:
$\left[\begin{matrix} 11^{x} \leq 1 \\ 6 < 11^{x} < 10 \\ 10 < 11^{x} \leq 11 \end{matrix}\right.$
Логарифмируя по основанию 11, получаем значения для $x$:
$\left[\begin{matrix} x \leq 0 \\ \log_{11} 6 < x < \log_{11} 10 \\ \log_{11} 10 < x \leq 1 \end{matrix}\right.$

Ответ: $(-\infty; 0] \cup (\log_{11} 6; \log_{11} 10) \cup (\log_{11} 10; 1]$

Источник: ФИПИ