Задание №15 — Логарифмические неравенства

Разбор решения:
Исходное неравенство: $\log _{3}^{2} ( 25 - x^{2} ) - 3 \log _{3} ( 25 - x^{2} ) + 2 \geq 0$.
Начнем с определения области допустимых значений. Аргумент логарифма должен быть строго положителен:
$25 - x^{2} > 0 \Rightarrow (5 - x)(5 + x) > 0$.

Следовательно, переменная $x$ должна принадлежать интервалу $(-5; 5)$.
Для упрощения введем новую переменную, пусть $t = \log _{3} (25 - x^{2})$. Тогда неравенство примет вид квадратного:
$t^{2} - 3t + 2 \geq 0$.
Корнями соответствующего квадратного уравнения являются $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Решим неравенство относительно $t$ методом интервалов:

Перейдем к обратной замене. Получаем совокупность двух условий:
$\left[\begin{matrix} t \leq 1 \\ t \geq 2 \end{matrix}\right.$
Рассмотрим каждое из них по отдельности, учитывая основание логарифма $3 > 1$:
1) $\log _{3} (25 - x^{2}) \leq 1$
$25 - x^{2} \leq 3^1 \Rightarrow x^{2} \geq 22$.
Отсюда получаем значения $x \in (-\infty; -\sqrt{22}] \cup [\sqrt{22}; +\infty)$.

2) $\log _{3} (25 - x^{2}) \geq 2$
$25 - x^{2} \geq 3^2 \Rightarrow x^{2} \leq 16$.
Это условие выполняется при $x \in [-4; 4]$.

Теперь необходимо объединить полученные результаты и найти их пересечение с ОДЗ $x \in (-5; 5)$:

Ответ: $(-5; -\sqrt{22}] \cup [-4; 4] \cup [\sqrt{22}; 5)$

Источник: ФИПИ