Разбор решения:
Рассмотрим исходное неравенство: $3^{x} + \frac{243}{3^{x} - 84} \leq 0$.
Для упрощения выражения введем новую переменную, обозначив $3^{x}$ через $t$, где $t > 0$.
Тогда неравенство примет вид:
$t + \frac{243}{t - 84} \leq 0$.
Приведем слагаемые к общему знаменателю:
$\frac{t(t - 84) + 243}{t - 84} \leq 0$,
$\frac{t^{2} - 84t + 243}{t - 84} \leq 0$.
Разложим квадратный трехчлен в числителе на множители, найдя его корни (это числа $3$ и $81$):
$\frac{(t - 3)(t - 81)}{t - 84} \leq 0$.
Решим полученное рациональное неравенство относительно $t$ методом интервалов:

Перейдем обратно к переменной $x$, учитывая найденные промежутки для $t$:
$\left[\begin{matrix} t \leq 3 \\ 81 \leq t < 84 \end{matrix}\right.$
Подставим $3^{x}$ вместо $t$:
$\left[\begin{matrix} 3^{x} \leq 3^{1} \\ \left\{\begin{matrix} 3^{x} \geq 3^{4} \\ 3^{x} < 84 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
Так как основание показательной функции $3 > 1$, знаки неравенств для показателей степеней сохраняются:
$\left[\begin{matrix} x \leq 1 \\ \left\{\begin{matrix} x \geq 4 \\ x < \log_{3} 84 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$

Таким образом, решением является объединение двух промежутков.

Ответ: $(-\infty; 1] \cup [4; \log_{3} 84)$

Источник: ФИПИ