Задание №16 — Логарифмические неравенства

Разбор решения:
Рассмотрим исходное неравенство: $1 + \frac{10}{\log _{2} x - 5} + \frac{16}{\log _{2}^{2} x - \log _{2} ( 32 x^{10} ) + 30} \geq 0$.
Прежде всего определим область допустимых значений переменной: $x > 0$.
Преобразуем знаменатель третьей дроби, используя свойства логарифма произведения и степени:
$1 + \frac{10}{\log _{2} x - 5} + \frac{16}{\log _{2}^{2} x - (\log _{2} 32 + \log _{2} x^{10}) + 30} \geq 0$
$1 + \frac{10}{\log _{2} x - 5} + \frac{16}{\log _{2}^{2} x - 5 - 10 \log _{2} x + 30} \geq 0$
Для упрощения выражений введем новую переменную, пусть $\log _{2} x = t$. Тогда неравенство примет вид:
$1 + \frac{10}{t - 5} + \frac{16}{t^{2} - 10 t + 25} \geq 0$
Заметим, что $t^2 - 10t + 25 = (t - 5)^2$. Приведем все слагаемые к общему знаменателю:
$\frac{(t - 5)^{2} + 10(t - 5) + 16}{(t - 5)^{2}} \geq 0$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{t^{2} - 10t + 25 + 10t - 50 + 16}{(t - 5)^{2}} \geq 0$
$\frac{t^{2} - 9}{(t - 5)^{2}} \geq 0$
Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:
$\frac{(t - 3)(t + 3)}{(t - 5)^{2}} \geq 0$
Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Перейдем обратно к переменной $x$, учитывая найденные промежутки для $t$:
$\left[\begin{matrix} t \leq - 3 \\ 3 \leq t < 5 \\ t > 5 \end{matrix}\right.$
Подставим $t = \log _{2} x$:
$\left[\begin{matrix} \log _{2} x \leq - 3 \\ 3 \leq \log _{2} x < 5 \\ \log _{2} x > 5 \end{matrix}\right.$
Так как основание логарифма $2 > 1$, знаки неравенств для аргумента сохраняются:
$\left[\begin{matrix} x \leq 2^{-3} \\ 2^3 \leq x < 2^5 \\ x > 2^5 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} x \leq \frac{1}{8} \\ 8 \leq x < 32 \\ x > 32 \end{matrix}\right.$
С учетом условия $x > 0$ отметим решения на числовой прямой:

Ответ: $( 0 ; \frac{1}{8} ] \cup [ 8 ; 32 ) \cup ( 32 ; + \infty )$

Источник: ФИПИ