Задание №15 — Логарифмические неравенства

Решение:
Рассмотрим неравенство: $\log _{2}^{2} ( x^{2} - 9 ) - 9 \log _{2} ( x^{2} - 9 ) + 20 \geq 0$
Для начала определим область допустимых значений переменной. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x^{2} - 9 > 0$
Разложим на множители: $(x - 3)(x + 3) > 0$

Следовательно, $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

Введем новую переменную, пусть $\log _{2} (x^{2} - 9) = t$. Тогда исходное выражение примет вид квадратного неравенства:
$t^{2} - 9t + 20 \geq 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 9t + 20 = 0$. По теореме Виета получаем: $t_{1} = 4$, $t_{2} = 5$.
Решим неравенство относительно $t$:

Перейдем к обратной замене. Получаем совокупность двух условий:
$\left[\begin{matrix} t \leq 4 \\ t \geq 5 \end{matrix}\right.$
Подставим логарифмическое выражение вместо $t$:
$\left[\begin{matrix} \log _{2} (x^{2} - 9) \leq 4 \\ \log _{2} (x^{2} - 9) \geq 5 \end{matrix}\right.$

1) Решим первое неравенство совокупности:
$\log _{2} (x^{2} - 9) \leq 4$
Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$x^{2} - 9 \leq 2^4 \Rightarrow x^{2} - 9 \leq 16$
$x^{2} \leq 25$

Отсюда $x \in [-5; 5]$.

2) Решим второе неравенство совокупности:
$\log _{2} (x^{2} - 9) \geq 5$
$x^{2} - 9 \geq 2^5 \Rightarrow x^{2} - 9 \geq 32$
$x^{2} \geq 41$

Отсюда $x \in (-\infty; -\sqrt{41}] \cup [\sqrt{41}; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученных решений с ОДЗ:

Ответ: $(-\infty; -\sqrt{41}] \cup [-5; -3) \cup (3; 5] \cup [\sqrt{41}; +\infty)$

Источник: ФИПИ