Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Исходное неравенство: $1 + \frac{5}{\log _{4} x - 3} + \frac{6}{\log _{4}^{2} x - \log _{4} ( 64 x^{6} ) + 12} \geq 0$.
Начнем с области определения: аргумент логарифма должен быть положительным, то есть $x > 0$.
Преобразуем знаменатель третьей дроби, используя свойства логарифма произведения и степени:
$1 + \frac{5}{\log _{4} x - 3} + \frac{6}{\log _{4}^{2} x - (\log _{4} 64 + \log _{4} x^{6}) + 12} \geq 0$
$1 + \frac{5}{\log _{4} x - 3} + \frac{6}{\log _{4}^{2} x - 6 \log _{4} x - 3 + 12} \geq 0$
Для упрощения вычислений введем новую переменную, пусть $\log _{4} x = t$.
Неравенство примет вид:
$1 + \frac{5}{t - 3} + \frac{6}{t^{2} - 6 t + 9} \geq 0$
Заметим, что в знаменателе последней дроби находится полный квадрат:
$1 + \frac{5}{t - 3} + \frac{6}{(t - 3)^{2}} \geq 0$
Приведем все слагаемые к общему знаменателю $(t - 3)^{2}$:
$\frac{(t - 3)^{2} + 5(t - 3) + 6}{(t - 3)^{2}} \geq 0$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{t^{2} - 6 t + 9 + 5 t - 15 + 6}{(t - 3)^{2}} \geq 0$
$\frac{t^{2} - t}{(t - 3)^{2}} \geq 0$
Разложим числитель на множители:
$\frac{t(t - 1)}{(t - 3)^{2}} \geq 0$
Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Перейдем обратно к переменной $x$, учитывая найденные промежутки для $t$:
$\left[\begin{matrix} t \leq 0 \\ 1 \leq t < 3 \\ t > 3 \end{matrix}\right.$
Подставим $t = \log _{4} x$:
$\left[\begin{matrix} \log _{4} x \leq 0 \\ 1 \leq \log _{4} x < 3 \\ \log _{4} x > 3 \end{matrix}\right.$
Так как основание логарифма $4 > 1$, логарифмическая функция возрастает, и знаки неравенств для аргументов сохраняются:
$\left[\begin{matrix} x \leq 4^0 \\ 4^1 \leq x < 4^3 \\ x > 4^3 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} x \leq 1 \\ 4 \leq x < 64 \\ x > 64 \end{matrix}\right.$
С учетом условия $x > 0$ отметим решения на числовой прямой:

Ответ: $( 0 ; 1 ] \cup [ 4 ; 64 ) \cup ( 64 ; + \infty )$

Источник: ФИПИ