Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Исходное неравенство: $7 \log _{12} ( x^{2} - 13 x + 42 ) \leq 8 + \log _{12} \frac{( x - 7 )^{7}}{x - 6}$.
Разложим квадратный трёхчлен на множители: $7 \log _{12} ( ( x - 7 ) ( x - 6 ) ) \leq 8 + \log _{12} \frac{( x - 7 )^{7}}{x - 6}$.
Используя свойства логарифма, внесем коэффициент перед первым логарифмом в показатель степени: $\log _{12} ( ( x - 7 )^{7} ( x - 6 )^{7} ) \leq 8 + \log _{12} \frac{( x - 7 )^{7}}{x - 6}$.
Перенесем логарифмы в левую часть и представим число 8 как логарифм по основанию 12: $\log _{12} ( ( x - 7 )^{7} ( x - 6 )^{7} ) - \log _{12} \frac{( x - 7 )^{7}}{x - 6} \leq \log _{12} 12^{8}$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ): $\left\{\begin{matrix} x^{2} - 13 x + 42 > 0 \\ \frac{(x - 7)^{7}}{x - 6} > 0 \end{matrix}\right.$
Это эквивалентно системе: $\left\{\begin{matrix} (x - 7) (x - 6) > 0 \\ \frac{(x - 7)^{7}}{x - 6} > 0 \end{matrix}\right.$
Решим систему методом интервалов:
Получаем ограничения для переменной: $x \in (-\infty; 6) \cup (7; +\infty)$.
Вернемся к преобразованию неравенства. Применим свойство разности логарифмов (логарифм частного): $\log _{12} \frac{( x - 7 )^{7} ( x - 6 )^{7} \cdot ( x - 6 )}{( x - 7 )^{7}} \leq \log _{12} 12^{8}$.
После сокращения дроби под знаком логарифма имеем: $\log _{12} ( x - 6 )^{8} \leq \log _{12} 12^{8}$, что упрощается до $\log _{12} (x - 6)^{8} \leq 8$.
Вынесем четную степень за знак логарифма, не забывая про модуль: $8 \log _{12} |x - 6| \leq 8$.
Разделим обе части на 8: $\log _{12} |x - 6| \leq 1$.
Перейдем к равносильному неравенству для подлогарифмического выражения: $|x - 6| \leq 12$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству $-12 \leq x - 6 \leq 12$, откуда находим границы: $x_1 = -6$ и $x_2 = 18$.

Решением данного этапа является отрезок $x \in [-6; 18]$.
Теперь найдем пересечение полученного решения с найденными ранее ограничениями:

Ответ: $[-6; 6) \cup (7; 18]$

Источник: ФИПИ