Задание №15 — Логарифмические неравенства

Решение:
Исходное неравенство: $\frac{\log _{3} ( 81 x )}{\log _{3} x - 4} + \frac{\log _{3} x - 4}{\log _{3} ( 81 x )} \geq \frac{24 - \log _{3} x^{8}}{\log _{3}^{2} x - 16}$.
Начнём с определения области допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным, то есть $x > 0$.
Преобразуем логарифмы, используя свойства произведения и степени: $\log_3(81x) = \log_3 81 + \log_3 x = 4 + \log_3 x$, а $\log_3 x^8 = 8\log_3 x$.
Перепишем выражение: $\frac{4 + \log _{3} x}{\log _{3} x - 4} + \frac{\log _{3} x - 4}{4 + \log _{3} x} \geq \frac{24 - 8\log _{3} x}{\log _{3}^{2} x - 16}$.
Для упрощения вычислений введём новую переменную $t = \log _{3} x$.
Получаем рациональное неравенство: $\frac{t + 4}{t - 4} + \frac{t - 4}{t + 4} \geq \frac{24 - 8t}{t^2 - 16}$.
Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём их к общему знаменателю $(t - 4)(t + 4)$:
$\frac{(t + 4)^2 + (t - 4)^2 - (24 - 8t)}{(t - 4)(t + 4)} \geq 0$.
Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые:
$\frac{t^2 + 8t + 16 + t^2 - 8t + 16 - 24 + 8t}{(t - 4)(t + 4)} \geq 0$;
$\frac{2t^2 + 8t + 8}{(t - 4)(t + 4)} \geq 0$.
Вынесем общий множитель и свернём числитель по формуле квадрата суммы:
$\frac{2(t^2 + 4t + 4)}{(t - 4)(t + 4)} \geq 0 \Rightarrow \frac{2(t + 2)^2}{(t - 4)(t + 4)} \geq 0$.
Решим полученное неравенство методом интервалов относительно $t$:

Решением для $t$ является совокупность условий:
$\left[\begin{matrix} t < -4 \\ t = -2 \\ t > 4 \end{matrix}\right.$
Вернёмся к переменной $x$, подставив $t = \log_3 x$:
$\left[\begin{matrix} \log_3 x < -4 \\ \log_3 x = -2 \\ \log_3 x > 4 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} x < 3^{-4} \\ x = 3^{-2} \\ x > 3^4 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} x < \frac{1}{81} \\ x = \frac{1}{9} \\ x > 81 \end{matrix}\right.$.
Учитывая условие $x > 0$, находим итоговые промежутки:

Ответ: $\left(0 ; \frac{1}{81}\right) \cup \left\{\frac{1}{9}\right\} \cup \left(81 ; + \infty\right)$

Источник: ФИПИ