Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $x^{2} \log _{625} \left(- 2 - x\right) \geq \log _{5} \left(x^{2} + 4 x + 4\right)$.
Преобразуем основания и аргументы логарифмов. Заметим, что $625 = 5^4$, а выражение под вторым логарифмом представляет собой полный квадрат: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$.
Получаем: $x^{2} \log _{5^{4}} \left(- 2 - x\right) \geq \log _{5} (x + 2)^{2}$.
Вынесем показатели степеней за знаки логарифмов. Учитывая свойства логарифма, имеем:
$x^{2} \cdot \frac{1}{4} \log _{5} \left(- 2 - x\right) \geq 2 \log _{5} |x + 2|$.
Поскольку аргумент первого логарифма должен быть положителен, то $-2 - x > 0$, откуда $x + 2 < 0$. Следовательно, $|x + 2| = -(x + 2) = -2 - x$.
Перепишем неравенство: $x^{2} \log _{5^{4}} \left(- 2 - x\right) \geq 2 \log _{5} \left(- 2 - x\right)$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} - 2 - x > 0 \\ (x + 2)^2 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x < - 2 \\ x \neq - 2 \end{cases}$
Таким образом, ограничение для переменной: $x < - 2$.

Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель:
$\frac{x^{2}}{4} \log _{5} \left(- 2 - x\right) - 2 \log _{5} \left(- 2 - x\right) \geq 0$
$\log _{5} \left(- 2 - x\right) \left(\frac{x^{2}}{4} - 2\right) \geq 0$
Применим метод рационализации для логарифмического выражения на его области определения:
$(5 - 1) \cdot (- 2 - x - 1) \cdot (x^{2} - 8) \geq 0$
Решим полученное алгебраическое неравенство методом интервалов:

Теперь найдем пересечение полученного решения с установленным ограничением $x < - 2$:

Ответ: $( - \infty ; - 3 ] \cup [ - \sqrt{8} ; - 2 )$

Источник: ФИПИ