Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $1 + \frac{6}{\log _{3} x - 3} + \frac{5}{\log _{3}^{2} x - \log _{3} ( 27 x^{6} ) + 12} \geq 0$
Для начала определим область допустимых значений переменной: $x > 0$.
Преобразуем знаменатель третьей дроби, используя свойства логарифма произведения и степени:
$1 + \frac{6}{\log _{3} x - 3} + \frac{5}{\log _{3}^{2} x - (\log _{3} 27 + \log _{3} x^{6}) + 12} \geq 0$
Введем новую переменную, пусть $\log _{3} x = t$. Тогда неравенство примет вид:
$1 + \frac{6}{t - 3} + \frac{5}{t^{2} - (3 + 6t) + 12} \geq 0$
Упростим выражение в знаменателе:
$1 + \frac{6}{t - 3} + \frac{5}{t^{2} - 6t + 9} \geq 0$
Заметим, что $t^2 - 6t + 9$ — это полный квадрат $(t - 3)^2$:
$1 + \frac{6}{t - 3} + \frac{5}{(t - 3)^{2}} \geq 0$
Приведем все слагаемые к общему знаменателю $(t - 3)^2$:
$\frac{(t - 3)^{2} + 6(t - 3) + 5}{(t - 3)^{2}} \geq 0$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{t^{2} - 6t + 9 + 6t - 18 + 5}{(t - 3)^{2}} \geq 0$
$\frac{t^{2} - 4}{(t - 3)^{2}} \geq 0$
Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:
$\frac{(t - 2)(t + 2)}{(t - 3)^{2}} \geq 0$
Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Таким образом, для переменной $t$ получаем следующие промежутки:
$\left[\begin{matrix} t \leq -2 \\ 2 \leq t < 3 \\ t > 3 \end{matrix}\right.$
Вернемся к переменной $x$, подставив $t = \log_{3} x$:
$\left[\begin{matrix} \log _{3} x \leq -2 \\ 2 \leq \log _{3} x < 3 \\ \log _{3} x > 3 \end{matrix}\right.$
Учитывая, что основание логарифма $3 > 1$, переходим к потенцированию с сохранением знаков неравенств:
$\left[\begin{matrix} x \leq 3^{-2} \\ 3^2 \leq x < 3^3 \\ x > 3^3 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} x \leq \frac{1}{9} \\ 9 \leq x < 27 \\ x > 27 \end{matrix}\right.$
С учетом условия $x > 0$, отметим решения на числовой прямой:

Ответ: $( 0 ; \frac{1}{9} ] \cup [ 9 ; 27 ) \cup ( 27 ; + \infty )$

Источник: ФИПИ