Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $\log _{3}^{2} ( x^{2} - 16 ) - 5 \log _{3} ( x^{2} - 16 ) + 6 \geq 0$.
Для начала определим область допустимых значений переменной. Выражение под логарифмом должно быть строго положительным:
$x^{2} - 16 > 0$
Разложим на множители: $(x - 4)(x + 4) > 0$.

Таким образом, $x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.
Введем новую переменную, пусть $\log_{3}(x^2 - 16) = t$. Тогда неравенство примет вид квадратного:
$t^2 - 5t + 6 \geq 0$
Корнями соответствующего квадратного уравнения являются $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Решением относительно $t$ будет совокупность промежутков:
$\left[\begin{matrix} t \leq 2 \\ t \geq 3 \end{matrix}\right.$
Выполним обратный переход к переменной $x$:
1) Разберем первый случай: $\log_{3}(x^2 - 16) \leq 2$.
Так как основание логарифма $3 > 1$, получаем:
$x^2 - 16 \leq 3^2$
$x^2 \leq 25$

Откуда $x \in [-5; 5]$.
2) Разберем второй случай: $\log_{3}(x^2 - 16) \geq 3$.
$x^2 - 16 \geq 3^3$
$x^2 \geq 43$

Следовательно, $x \in (-\infty; -\sqrt{43}] \cup [\sqrt{43}; +\infty)$.
Теперь необходимо найти пересечение полученных решений с ОДЗ, установленной в начале задачи.

Ответ: $(-\infty; -\sqrt{43}] \cup [-5; -4) \cup (4; 5] \cup [\sqrt{43}; +\infty)$

Источник: ФИПИ