Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $\frac{\log _{2} ( 4 x^{2} ) + 35}{\log _{2}^{2} x - 36} \geq - 1$.
Начнём с области допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным, то есть $x > 0$.
Преобразуем числитель, используя свойства логарифма произведения и степени: $\log_{2}(4x^2) = \log_{2}4 + \log_{2}x^2 = 2 + 2\log_{2}x$.
Тогда выражение примет вид: $\frac{2 + 2\log_{2}x + 35}{\log_{2}^{2} x - 36} \geq - 1$.
Для упрощения вычислений введём новую переменную $t = \log_{2} x$.
Получаем рациональное неравенство:
$\frac{2t + 37}{t^2 - 36} + 1 \geq 0$;
Приведём к общему знаменателю:
$\frac{2t + 37 + t^2 - 36}{t^2 - 36} \geq 0$;
$\frac{t^2 + 2t + 1}{t^2 - 36} \geq 0$.
Разложим числитель по формуле квадрата суммы, а знаменатель — по разности квадратов:
$\frac{(t + 1)^2}{(t - 6)(t + 6)} \geq 0$.
Решим полученное неравенство методом интервалов:

Анализируя знаки на числовой прямой, получаем совокупность условий для $t$:
$t \in (-\infty; -6) \cup \{-1\} \cup (6; +\infty)$.
Перейдём обратно к переменной $x$:
$\left[\begin{matrix} \log_{2} x < -6 \\ \log_{2} x = -1 \\ \log_{2} x > 6 \end{matrix}\right.$
Учитывая, что логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, получаем:
$\left[\begin{matrix} x < 2^{-6} \\ x = 2^{-1} \\ x > 2^6 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow$ $\left[\begin{matrix} x < \frac{1}{64} \\ x = \frac{1}{2} \\ x > 64 \end{matrix}\right.$
С учётом условия $x > 0$, запишем итоговый интервал.

Ответ: $\left(0; \frac{1}{64}\right) \cup \left\{\frac{1}{2}\right\} \cup (64; +\infty)$

Источник: ФИПИ