Задание №15 — Логарифмические неравенства

Ход решения:
Для начала преобразуем исходное неравенство: $$\frac{2 \log _{3} ( 9 x ) - 13}{\log _{3}^{2} x - \log _{3} x^{4}} \leq 1$$ Воспользуемся свойствами логарифма в числителе и знаменателе: $$\frac{\log _{3} ( 9 x )^{2} - 13}{\log _{3}^{2} x - 4 \log _{3} x} \leq 1$$ Разложим логарифм произведения в числителе: $$\frac{\log _{3} 81 + \log _{3} x^{2} - 13}{\log _{3}^{2} x - 4 \log _{3} x} \leq 1$$ Так как $\log_{3} 81 = 4$, получаем: $$\frac{4 + 2\log _{3} x - 13}{\log _{3}^{2} x - 4 \log _{3} x} \leq 1$$ Упростим выражение: $$\frac{2 \log _{3} x - 9}{\log _{3}^{2} x - 4 \log _{3} x} \leq 1$$ Введем новую переменную, пусть $\log _{3} x = t$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{2 t - 9}{t^{2} - 4 t} \leq 1$$ Перенесем единицу в левую часть и приведем к общему знаменателю: $$\frac{2 t - 9}{t^{2} - 4 t} - 1 \leq 0 \implies \frac{2 t - 9 - (t^{2} - 4 t)}{t (t - 4)} \leq 0$$ $$\frac{-t^{2} + 6t - 9}{t (t - 4)} \leq 0$$ Заметим в числителе полный квадрат: $$\frac{-(t - 3)^{2}}{t (t - 4)} \leq 0$$ Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Решением для $t$ будут промежутки: $t \in (-\infty; 0) \cup \{3\} \cup (4; +\infty)$.
Выполним обратный переход к переменной $x$: $$\left[\begin{aligned} & \log_{3} x < 0 \\ & \log_{3} x = 3 \\ & \log_{3} x > 4 \end{aligned}\right. \implies \left[\begin{aligned} & x < 1 \\ & x = 27 \\ & x > 81 \end{aligned}\right.$$

Учитывая область допустимых значений логарифма ($x > 0$), найдем пересечение полученных решений с ОДЗ:

Ответ: $(0; 1) \cup \{27\} \cup (81; +\infty)$

Источник: ФИПИ