Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $$\frac{\log _{2} ( 2 - x ) - \log _{2} ( x + 1 )}{\log _{2}^{2} x^{2} + \log _{2} x^{4} + 1} \geq 0$$ Преобразуем выражение в знаменателе, используя свойства логарифма: $$\frac{\log _{2} ( 2 - x ) - \log _{2} ( x + 1 )}{(2 \log _{2} |x|)^{2} + 4 \log _{2} |x| + 1} \geq 0$$ Заметим, что в знаменателе представлен полный квадрат: $$\frac{\log _{2} ( 2 - x ) - \log _{2} ( x + 1 )}{(2 \log _{2} |x| + 1)^{2}} \geq 0$$ Определим область допустимых значений (ОДЗ): $$\begin{cases} 2 - x > 0 \\ x + 1 > 0 \\ x^{2} > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 2 \\ x > -1 \\ x \neq 0 \end{cases}$$ Таким образом, $x \in (-1; 0) \cup (0; 2)$.
Так как квадрат выражения в знаменателе всегда неотрицателен, для выполнения неравенства необходимо, чтобы числитель был больше или равен нулю, а знаменатель не обращался в ноль: $$\begin{cases} \log _{2} (2 - x) - \log _{2} (x + 1) \geq 0 \\ (2 \log _{2} |x| + 1)^{2} \neq 0 \end{cases}$$ Решим неравенство для числителя, используя свойство разности логарифмов и потенцирование (основание $2 > 1$): $$\log _{2} \left(\frac{2 - x}{x + 1}\right) \geq 0 \Rightarrow \frac{2 - x}{x + 1} \geq 1$$ Перенесем единицу влево и приведем к общему знаменателю: $$\frac{2 - x - (x + 1)}{x + 1} \geq 0 \Rightarrow \frac{1 - 2x}{x + 1} \geq 0$$ Критическими точками являются $x = -1$ и $x = 0,5$.
Определим знаки выражения на интервалах:

Получаем промежуток: $x \in (-1; 0,5]$.
Теперь исключим значения, при которых знаменатель равен нулю: $$2 \log _{2} |x| + 1 \neq 0 \Rightarrow \log _{2} x^2 \neq -1$$ $$x^2 \neq 2^{-1} \Rightarrow x^2 \neq \frac{1}{2} \Rightarrow x \neq \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Сравним полученные точки с границей интервала: так как $\sqrt{2} > 1$, то $\frac{\sqrt{2}}{2} > \frac{1}{2}$. Следовательно, точка $\frac{\sqrt{2}}{2}$ лежит вне рассматриваемого отрезка, а $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ попадает внутрь.

Учитывая ОДЗ (исключаем точку $0$):

Ответ: $\left(-1; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0\right) \cup \left(0; \frac{1}{2}\right]$

Источник: ФИПИ