Задание №15 — Показательные неравенства

Решение:
$\frac{13}{3^{x} - 81} \leq \frac{1}{3^{x} - 9} ;$ Замена $3^{x} = t$
$\frac{13}{t - 81} \leq \frac{1}{t - 9}$
$\frac{13 \left(t - 9\right) - \left(t - 81\right)}{\left(t - 81\right) \left(t - 9\right)} \leq 0$
$\frac{13 t - 117 - t + 81}{\left(t - 81\right) \left(t - 9\right)} \leq 0$
$\frac{12 t - 36}{\left(t - 81\right) \left(t - 9\right)} \leq 0$
$\frac{12 \left(t - 3\right)}{\left(t - 81\right) \left(t - 9\right)} \leq 0$


$\left[\begin{matrix} t \leq 3 \\ \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}t > 9 \\ t < 81\end{matrix} \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
$\left[\begin{matrix} 3^{x} \leq 3 \\ \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}3^{x} > 9 \\ 3^{x} < 81\end{matrix} \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
$\left[\begin{matrix} x \leq 1 \\ \left\{\begin{matrix} \begin{matrix}x > 2 \\ x < 4 .\end{matrix} \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$

Ответ: $\left\{\right. - \infty ; 1 \left]\right. \cup ( 2 ; 4 )$

Источник: ФИПИ