Задание №16 — Рациональные неравенства

Решение:
Исходное неравенство: $$\frac{2 \cdot 8^{x - 1}}{2 \cdot 8^{x - 1} - 1} \geq \frac{3}{8^{x} - 1} + \frac{8}{64^{x} - 5 \cdot 8^{x} + 4}$$ Преобразуем степени, выделив $8^x$: $$\frac{2 \cdot \frac{8^{x}}{8}}{2 \cdot \frac{8^{x}}{8} - 1} \geq \frac{3}{8^{x} - 1} + \frac{8}{( 8^{x} )^{2} - 5 \cdot 8^{x} + 4}$$ Для упрощения вычислений введем новую переменную $t = 8^{x}$, где $t > 0$: $$\frac{\frac{t}{4}}{\frac{t}{4} - 1} \geq \frac{3}{t - 1} + \frac{8}{t^{2} - 5 t + 4}$$ Упростим дробь в левой части и разложим знаменатель квадратного трехчлена справа на множители: $$\frac{t}{t - 4} \geq \frac{3}{t - 1} + \frac{8}{(t - 1)(t - 4)}$$ Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем их к общему знаменателю: $$\frac{t(t - 1) - 3(t - 4) - 8}{(t - 1)(t - 4)} \geq 0$$ Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $$\frac{t^{2} - t - 3t + 12 - 8}{(t - 1)(t - 4)} \geq 0$$ $$\frac{t^{2} - 4t + 4}{(t - 1)(t - 4)} \geq 0$$ Заметим в числителе формулу квадрата разности: $$\frac{(t - 2)^{2}}{(t - 1)(t - 4)} \geq 0$$ Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Учитывая знаки на промежутках, получаем совокупность условий для $t$: $$\left[\begin{matrix} t < 1 \\ t = 2 \\ t > 4 \end{matrix}\right.$$ Выполним обратную замену, перейдя к основанию 2 или 8: $$\left[\begin{matrix} 8^{x} < 1 \\ 8^{x} = 2 \\ 8^{x} > 4 \end{matrix}\right. \iff \left[\begin{matrix} 8^{x} < 8^0 \\ 2^{3x} = 2^1 \\ 2^{3x} > 2^2 \end{matrix}\right.$$ Откуда находим значения $x$: $$\left[\begin{matrix} x < 0 \\ x = \frac{1}{3} \\ x > \frac{2}{3} \end{matrix}\right.$$ Обозначим найденные решения на числовой прямой:

Ответ: $(-\infty; 0) \cup \{1/3\} \cup (2/3; +\infty)$

Источник: ФИПИ