Задание №15 — Логарифмические неравенства

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $x^{2} \log _{512} ( 4 - x ) \geq \log _{2} ( x^{2} - 8 x + 16 )$.
Преобразуем обе части, используя свойства логарифмов и формулу квадрата разности:
$x^{2} \log _{2^{9}} (4 - x) \geq \log _{2} (x - 4)^{2}$
Вынесем показатели степеней из оснований и аргументов:
$x^{2} \cdot \frac{1}{9} \log _{2} (4 - x) \geq 2 \log _{2} |x - 4|$
Учитывая область определения, выражение под модулем $|x-4|$ заменим на $(4-x)$, так как аргумент первого логарифма требует $4-x > 0$. Перенесем всё в левую часть и вынесем общий множитель:
$\frac{x^{2}}{9} \log _{2} (4 - x) - 2 \log _{2} (4 - x) \geq 0$
$\log _{2} (4 - x) \left(\frac{x^{2}}{9} - 2\right) \geq 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} 4 - x > 0 \\ (x - 4)^{2} > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 4 \\ x \neq 4 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; 4)$.

Для решения полученного неравенства воспользуемся методом рационализации:
$(2 - 1) \cdot (4 - x - 1) \cdot \left(\frac{x^{2}}{9} - 2\right) \geq 0$
Упростим выражение, умножив на положительное число 9:
$(3 - x)(x^{2} - 18) \geq 0$
Разложим на множители и определим знаки на числовой прямой:

Получаем промежутки: $x \in (-\infty; -\sqrt{18}] \cup [3; \sqrt{18}]$.
Теперь сопоставим найденные решения с условием $x < 4$. Заметим, что $\sqrt{18} \approx 4,24$, поэтому правый интервал будет ограничен числом 4:

Ответ: $(-\infty; -3\sqrt{2}] \cup [3; 4)$

Источник: ФИПИ