Задание №16 — Логарифмические неравенства

Разбор решения:
Исходное неравенство: $$\frac{\log _{8} x}{\log _{8} \left(\frac{x}{64}\right)} \geq \frac{2}{\log _{8} x} + \frac{3}{\log _{8}^{2} x - \log _{8} x^{2}}$$ Преобразуем знаменатели, используя свойства логарифма: $$\frac{\log _{8} x}{\log _{8} x - \log _{8} 64} \geq \frac{2}{\log _{8} x} + \frac{3}{\log _{8}^{2} x - 2 \log _{8} |x|}$$ Учитывая область определения логарифмической функции, запишем условие: $x > 0$.
Для упрощения введем новую переменную, пусть $t = \log _{8} x$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t}{t - 2} \geq \frac{2}{t} + \frac{3}{t^{2} - 2 t}$$ Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем их к общему знаменателю $t(t - 2)$: $$\frac{t}{t - 2} - \frac{2}{t} - \frac{3}{t(t - 2)} \geq 0$$ $$\frac{t^2 - 2(t - 2) - 3}{t(t - 2)} \geq 0$$ Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $$\frac{t^2 - 2t + 4 - 3}{t(t - 2)} \geq 0$$ $$\frac{t^2 - 2t + 1}{t(t - 2)} \geq 0$$ Заметим в числителе формулу квадрата разности: $$\frac{(t - 1)^2}{t(t - 2)} \geq 0$$ Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:


Из чертежа видно, что решениями для $t$ являются промежутки: $$\left[\begin{matrix} t < 0 \\ t = 1 \\ t > 2 \end{matrix}\right.$$ Выполним обратный переход к переменной $x$: $$\left[\begin{matrix} \log _{8} x < 0 \\ \log _{8} x = 1 \\ \log _{8} x > 2 \end{matrix}\right. \iff \left[\begin{matrix} 0 < x < 1 \\ x = 8 \\ x > 64 \end{matrix}\right.$$ С учетом ОДЗ ($x > 0$) получаем итоговое множество решений:

Ответ: $(0; 1) \cup \{8\} \cup (64; +\infty)$

Источник: ФИПИ