Задание №15 — Рациональные неравенства

Разбор решения:
Исходное неравенство: $\frac{8^{x + 1} - 40}{2 \cdot 64^{x} - 32} \leq 1$.
Преобразуем степени к основанию 8: $\frac{8 \cdot 8^{x} - 40}{2 \cdot (8^{x})^{2} - 32} \leq 1$.
Для упрощения введем новую переменную, обозначив $8^{x}$ через $t$, где $t > 0$.
Получаем рациональное неравенство: $\frac{8t - 40}{2t^2 - 32} \leq 1$.
Сократим дробь в левой части на 2: $\frac{4t - 20}{t^2 - 16} \leq 1$.
Перенесем единицу влево и приведем к общему знаменателю:
$\frac{4t - 20 - (t^2 - 16)}{t^2 - 16} \leq 0$;
$\frac{-t^2 + 4t - 4}{t^2 - 16} \leq 0$.
В числителе вынесем минус и заметим формулу квадрата разности, а знаменатель разложим по разности квадратов:
$\frac{-(t - 2)^2}{(t - 4)(t + 4)} \leq 0$.
Умножим на $-1$, меняя знак неравенства:
$\frac{(t - 2)^2}{(t - 4)(t + 4)} \geq 0$.
Решим полученное неравенство методом интервалов:

С учетом того, что $t = 8^x > 0$, получаем совокупность условий для $t$:
$\left[\begin{matrix} t < -4 \\ t = 2 \\ t > 4 \end{matrix}\right.$
Перейдем обратно к переменной $x$:
1) $8^x < -4$ — решений нет, так как показательная функция всегда положительна.
2) $8^x = 2 \Rightarrow 2^{3x} = 2^1 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$.
3) $8^x > 4 \Rightarrow 2^{3x} > 2^2 \Rightarrow 3x > 2 \Rightarrow x > \frac{2}{3}$.
Объединяя результаты, получаем итоговое множество решений.

Ответ: $\left\{\frac{1}{3}\right\} \cup \left(\frac{2}{3}; +\infty\right)$

Источник: ФИПИ