Задание №15 — Логарифмические неравенства

Ход решения:
Рассмотрим исходное логарифмическое неравенство: $$\log _{2} ( 4 x^{2} - 1 ) - \log _{2} x \leq \log _{2} \left(5 x + \frac{9}{x} - 11\right)$$ Используя свойства логарифмов (разность логарифмов заменим логарифмом частного), перейдем к сравнению аргументов, учитывая, что основание $2 > 1$: $$\frac{4 x^{2} - 1}{x} \leq 5 x + \frac{9}{x} - 11$$ Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю: $$\frac{4 x^{2} - 1}{x} - \frac{5 x^{2} - 11 x + 9}{x} \leq 0$$ Умножим обе части на $-1$, меняя знак неравенства для удобства вычислений: $$\frac{5 x^{2} - 11 x + 9 - (4 x^{2} - 1)}{x} \geq 0$$ Упростим числитель, приведя подобные слагаемые: $$\frac{x^{2} - 11 x + 10}{x} \geq 0$$ Разложим квадратный трехчлен в числителе на множители, найдя его корни ($1$ и $10$): $$\frac{(x - 10)(x - 1)}{x} \geq 0$$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
Аргументы логарифмов должны быть строго положительными: $$\begin{cases} 4 x^{2} - 1 > 0 \\ x > 0 \\ 5 x + \frac{9}{x} - 11 > 0 \end{cases}$$ Решим систему условий: Из первого условия получаем $x^2 > \frac{1}{4}$, что дает $x \in (-\infty; -0,5) \cup (0,5; +\infty)$. С учетом условия $x > 0$, получаем промежуток $x > \frac{1}{2}$. Третье условие при $x > \frac{1}{2}$ выполняется для всех допустимых значений переменной. Итоговое ограничение: $x > \frac{1}{2}$.

Решением рационального неравенства методом интервалов является множество: $x \in ( 0 ; 1 ] \cup [ 10 ; + \infty )$
Теперь найдем пересечение полученного решения с установленным ограничением $x > \frac{1}{2}$:

Ответ: $( \frac{1}{2} ; 1 ] \cup [ 10 ; + \infty )$

Источник: ФИПИ