Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $x^{2} \log _{625} \left(6 - x\right) \leq \log _{5} \left(x^{2} - 12 x + 36\right)$.
Преобразуем основания логарифмов и выражения под ними: $x^{2} \log _{5^{4}} \left(6 - x\right) \leq \log _{5} \left(x - 6\right)^{2}$.
Вынесем показатели степеней за знаки логарифмов: $\frac{x^{2}}{4} \log _{5} \left(6 - x\right) \leq 2 \log _{5} \left|x - 6\right|$.
С учетом того, что аргумент логарифма должен быть положителен, получаем $6 - x > 0$, а значит, $\left|x - 6\right| = 6 - x$. Тогда: $\frac{x^{2}}{4} \log _{5} \left(6 - x\right) \leq 2 \log _{5} \left(6 - x\right)$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} 6 - x > 0 \\ (x - 6)^{2} > 0 \end{cases} \Rightarrow x < 6$.
Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:
$\frac{x^{2}}{4} \log _{5} \left(6 - x\right) - 2 \log _{5} \left(6 - x\right) \leq 0$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$\log _{5} \left(6 - x\right) \left(\frac{x^{2}}{4} - 2\right) \leq 0$.
Для удобства умножим выражение во второй скобке на 4:
$\log _{5} \left(6 - x\right) \left(x^{2} - 8\right) \leq 0$.
Применим метод рационализации для логарифмического множителя и разложим разность квадратов:
$(5 - 1) (6 - x - 1) (x - \sqrt{8}) (x + \sqrt{8}) \leq 0$.
Упростим выражение:
$4 (5 - x) (x - 2\sqrt{2}) (x + 2\sqrt{2}) \leq 0$.
Решим полученное неравенство методом интервалов:

Теперь найдем пересечение полученного решения с условием $x < 6$:

Ответ: $[-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}] \cup [5; 6)$

Источник: ФИПИ